Le cours avec plan de travail et correction
Sujet évaluation formative
Correction exercices raisonnement par récurrence
Exercice 3 : Correction
Démontrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$ : $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\dfrac{n}{2 n+1}$
Exercice 4 : Correction
$u_0=2$ et $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}$ pour tout entier naturel $n$
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=\dfrac{2}{2 n+1}.$
Exercice 5 : Correction
On considère la suite ( $u_n$ ) définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\dfrac{1}{4} u_n+3$ pour tout entier $n \geqslant 0$.
Montrer par récurrence pour tout entier $n \geq 1$, $3 \leq u_n \leq 4$
Exercice 6 : Correction
On considère la suite ( $S_n$ ) définie pour tout entier $n \geq 1$ par $S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n(2 k-1)$
Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n \geq 1$, on a $ S_n=n^2$
Exercice 7 : Correction
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=2$ et pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{3} u_n+2$
Démontrer par récurrence que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
Correction exercices suites arithmético-géométriques
Exercice 1 : Correction
On considère une suite $\left(u_n\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par :
$u_0=4$ et $u_{n+1}=2u_n-3$.
Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie sur N par: $v_n=u_n-3$.
1. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$.
2. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique.
3. Donner l’expression de $v_n$ en fonction de $n$.
4. En déduire l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
5. Calculer la somme des 11 premiers termes de $\left(u_n\right)$.
Exercice 2: Correction
$\left(u_n\right)$ est la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0=5$ et pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1}=\frac{1}{2} u_n+4$$
1. Calculer $u_1, u_2, u_3$ et $u_4$.
2. On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_n=u_n-8$.
a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$.
b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
3. a. Exprimer $u_n$ en fonction de n.
b. Calculer $u_{10}$
4. Déterminer les variations de la suite $\left(u_n\right)$