\({Si}\left(u_{n}\right)\) est une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme \(u_{0}=2\),
La somme \(\displaystyle\sum_{i=3}^{i=n} u_{i}=u_3+\dots+u_n\) est la somme des \(n-3+1\) termes de la suite \(u_n)\), en partant de \(u_{3}=u_{0}+3 r=2+3 \times 5=17 \)
jusqu’à \( u_{n}=u_{0}+n r=2+5 n \) .
Cette somme s’exprime en fonction de \(n\) par la relation :
\(\displaystyle\sum_{i=3}^{i=n} u_{i}=\underbrace{(n-2)}_{\text {nombre de termes }} \times \dfrac{\overbrace{17}^{Premier terme}+\overbrace{2+5 n}^{Dernier terme}}{2}=\frac{(n-2)(19+5 n)}{2}\)
\(\displaystyle\sum_{i=3}^{i=n} u_{i}=6456\) équivaut alors à \(\dfrac{(n-2)(19+5 n)}{2}=6456 \Leftrightarrow 5 n^{2}+9 n-38=12912,\) c’est-à dire à \(5 n^{2}+9 n-12950=0\)
On résout cette équation du second degré en calculant son discriminant, et on obtient deux solutions distinctes, dont la seule entière positive est \(n=50\)