Somme de termes consécutifs :

Cas particulier :

Pour tout entier naturel n on a : \[1+2+\cdots + n = \frac{n \left( n +1\right)}{2}\]

Cas général

Soit \(\left( u_n \right)\) une suite arithmétique de premier terme \(u_0\), \[ u_0 + u_{1} + \cdots + u_n =\left( n +1\right) \times \frac{ u_0 +u_n }{2}\]
La somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique est égale à :\[\text{nombre de termes }\:\times \frac{\text{premier terme}\:+\:\text{dernier terme}}{2}\]

Preuve :

Soit \(\left(u_n \right)\) une suite arithmétique de premier terme \(u_0\) et de raison \(r\).
\[ \begin{split}
S &= u_{0} + u_1 +u_2 +\cdots +u_n\\
&= u_{0} + \left( u_0+r\right)+ \left( u_0+2r\right) +\cdots +\left(u_0+nr\right) \\
&= (n+1) u_0 + \left( 1+ 2 +\cdots +n\right)\times r \\
& =(n+1) u_0 +\frac{n \left( n +1\right)}{2}\times r \\
& =(n+1) \left(\frac{2 u_0+ nr}{2}\right) \\
& =(n+1) \left(\frac{u_0+ u_n}{2}\right) \\
\end{split}
\]