Approche intuitive de la notion de limite,finie ou infinie, d’une suite,des opérations sur les limites, du passage à la limite dans les inégalités et du théorème des gendarmes.
Modéliser un problème par une suite donnée par une formule explicite ou une relation de récurrence.
Représenter graphiquement une suite donnée par une relation de récurrence $u_{n+1}=ƒ(u_n)$ où $f$ est une fonction continue d’un intervalle I dans lui-même. Conjecturer le comportement global ou asymptotique d’une telle suite.
Une suite $\left(u_{n}\right)$ est définie de manière explicite si son terme général s'écrit en fonction de ${n}$.
Exemple 1 :
On définit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier $n$, tel que $u_{n}=2 n+3$ Pour ce type de suites, on peut choisir directement le rang $n$, pour lequel on veut calculer $u_n$. Par exemple, ici, $u_{23}=2\times 23 +3=49$
B
Suite définie par une relation de récurrence:
Définition 1 :
Une suite$\left(u_{n}\right)$ est définie par récurrence si on connait son premier terme et si son terme général s' écrit en fonction de termes précédents.
Exemple 1 :
On définit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier $\quad n$, tel que On a alors par exemple: $u_1=2 u_0+1=2+1=3$ La définition d'une suite par récurence illustre l'algorithme de construction de la suite pour passer d'un rang au rang suivant. C'est pratique pour comprendre le programme de la suite, étape par étape. Inversement, pour calculer le terme de rang 23 par exemple, il faut connaître le terme de rang 22, qui necessite la connaissance du terme de rang 21, etc...
Chercher la "limite" d'une suite, c'est analyser le comportement des termes de cette suite quand $n$ prend des valeurs de plus en plus grandes. Pour modéliser ce concept, on dit que $n$ tend vers $+\infty$.
Exemple 1 :
La suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb N$ par $u_n= 2n+1$ a pour limite $+\infty$. En effet, les termes de la suite deviennent aussi grands que l'on souhaite pourvu qu’on choisisse un rang $n$ suffisamment grand. Par exemple, est-il possible de trouver un rang $n$, tel que $u_n > 1 000 000$ ? On résout : $2n+1>1 000 000\iff n>\dfrac{999999}{2}\approx 500 000$ Pour tout entier supérieur à $500 000$, on a donc $u_n>1000000$
B
Limite infinie :
Définition 1 :
On dit que la suite $\left(u_{n}\right)$ admet pour limite $+\infty$ si $u_{n}$ est aussi grand que l'on veut pourvu que $n$ soit suffisamment grand et on note: $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=+\infty$.
Remarque 1 :
La même définition en langage mathématique donnerait : $\forall A\in \mathbb R, \exists N\in\mathbb N, \forall n\in \mathbb N, n>N, u_n>A$
Remarque 2 :
Pour une limite égale à $-\infty$, on note : $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=-\infty$
C
Limite finie :
Exemple 1 :
Soit $(u_n)$ la suite définie pour $n\in\mathbb N^{*}$ par $u_n=1-\dfrac{1}{n}$ $u_{10}=1-\dfrac{1}{10}=0,9$ $u_{100}=1-\dfrac{1}{100}=0,99$ $u_{1000}=1-\dfrac{1}{1000}=0,999$ On conjecture que la fraction $\dfrac{1}{n}$ devient négligeable devant 1 quand $n$ devient très grand. En conséquence, il semble que la limite de cette suite soit égale à 1.
Définition 1 :
On dit que la suite $\left(u_{n}\right)$ admet pour limite $L$ si $u_{n}$ est aussi proche de $L$ que l'on veut pourvu que $n$ soit suffisamment grand et on note: $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=L$.
Application : En reprenant la conjecture précédente, avec $u_n=1-\dfrac{1}{n}$, on noter :$\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=1$.
Définition 2 :
Une définition mathématique de la convergence d'une suite $(u_n)$ vers un réel $L$ est : $\forall \epsilon>0, \exists N\in \mathbb N, \forall n>N, \vert u_n-L\vert<\epsilon$
On dit qu'une suite qui admet une limite finie $L\in\mathbb R$ converge vers $L$. On dit aussi qu'une telle suite est convergente.
Exemple 1 :
On peut dire que la suite définie pour $n\in\mathbb N$ par $u_n=1-\dfrac{1}{n}$ converge vers 1. $(u_n)$ est donc une suite convergente.
Définition 2 :
Une suite qui n'est pas convergente est dite divergente.
Exemple 2 :
On a vu précedemment que la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb N$ par $u_n= 2n+1$ a pour limite $+\infty$. $(u_n)$ est donc une suite divergente. Sa limite n'est pas finie. On peut dire que $(u_n)$ diverge vers $+\infty$.
Remarque 1 :
Une suite qui est divergente n'admet pas nécessairement de limite infinie. Par exemple, la suite de terme générale $(-1)^{n}$ prend alternativement les valeurs -1 et 1. C'est une suite alternée, qui n'admet donc pas de limite. Elle est donc divergente.
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour $n\in\mathbb N$ par $u_n=n^{2}-1000$ Rédaction : On sait que $\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} n^{2} = +\infty$ donc $\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} n^{2} -1000= +\infty$ Quelquesoit la constante, il existe toujours un $n$ assez grand pour que $n^{2}$ l'emporte et fasse tendre la suite vers $+\infty$.
Exemple 2 :
Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ les suites définies pour tout $n\in \mathbb N$ par $u_n=n^{2}-n$ et $v_n=n-n^{2}$ On sait que : $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} n^{2}=+\infty$ et $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} n=+\infty$ Les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont donc toutes les deux des différences de suites qui tendent vers l'infini. On conjecture les limites de ces suites : $u_{100}=100^{2}-100=9900$. On conjecture que $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=+\infty$. On analyse cette conjecture en observant que pour des $n$ très grand, $n^{2}\gg n$. On dit que $n^{2}$ l'emporte sur $n$ pour des grandes valeurs. Inversement, $v_{100}=100-100^{2}=-9900$. On conjecture que $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=-\infty$.
Les deux suites n'ont pas la même limite, on ne peut donc pas donner un résultat général pour le schéma :$"+\infty - \infty$".
Tableau récapitulatif des sommes de limites (admis) :
Propriété 1 :
$\bullet$ On retient qu'on peut opérer avec les limites, quand les suites convergent. $\bullet$ Une limite infinie l'emporte toujours sur une limite finie. $\bullet$ Deux limites infinies de même signes ne changent pas la limite infinie. $\bullet$ Attention, deux limites infinies de signes opposés donnent une Forme Indeterminée, F.I. en abrégé.
Méthode :
Lever une indertermination : $+\infty - \infty$
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n\in \mathbb N$ par $u_n=2n^{2}-4n$. On conjecture que le terme de plus haut degré l'emporte en $+\infty$. Pour le prouver, on factorise par ce terme : $u_n=2n^{2}-4n = n^{2}\left(2-4 \times \dfrac{1}{n} \right)$. On sait que : $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \dfrac{1}{n} =0$ donc avec la propriété des produits de limites : $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} -4 \times \dfrac{1}{n} =0$ . Avec la propriété des sommes de limites : $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} 2-4 \times \dfrac{1}{n} =2$ Ce qui permet de conclure, avec la propriété des sommes de limites : $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} n^{2}\left(2-4 \dfrac{1}{n} \right)=+\infty$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_n=+\infty$
1 er cas : Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ les suites définies pour tout $n\in \mathbb N^{*}$ par $u_n=n^{2}$ et $v_n=\frac{1}{n}$ On sait que : $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} n^{2}=+\infty$ et $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n}=0$ La suite $u_n \times v_n$ est donc une suite sur le schéma : $+\infty \times 0$ Or $u_n \times v_n = n^{2}\times\dfrac{1}{n}=n$ . Donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n\times v_n=+\infty$ .
Exemple 2 :
2ème cas : Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ les suites définies pour tout $n\in \mathbb N^{*}$ par $u_n=n$ et $v_n=\frac{1}{n^{2}}$ On sait que : $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} n=+\infty$ et $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n^{2}}=0$ La suite $u_n \times v_n$ est donc une suite sur le schéma : $+\infty \times 0$ Or $u_n \times v_n = n\times\frac{1}{n^{2}}=\dfrac{1}{n}$ . Donc $\lim\limits_{n \rightarrow 0} u_n\times v_n=0$.
Les deux cas n'ont pas la même limite, on ne peut donc pas donner un résultat général pour le schéma :"$\infty \times 0$". On ne peut pas dire à l'avance qui l'emporte entre les deux suites. C'est une forme Indertéerminée.
Tableau récapitulatif des produits de limites (admis) :
Pour les infinis, on applique la règle des signes. Attention, le produit d'une limite qui tend vers zéro et d'une suite qui tend vers vers l'infini donne une Forme Indeterminée
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n\in \mathbb N$ tel que $n>2$ par $u_n=(n^{2}-1)\left(\dfrac{2}{n-2}\right)$. On sait que : $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} n^{2} =+\infty$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} n^{2} -1=+\infty$. On sait que : $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \dfrac{1}{n} =0$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \dfrac{2}{n-2}=0$ On obtient donc une forme indéterminée : $\infty \times 0$. On factorise chaque facteur par son terme de plus haut degré : $u_n=n^{2}\left(1-\dfrac{1}{n^{2}}\right)\times \dfrac{2}{n}\left(\dfrac{1}{1-\dfrac{2}{n}}\right)$ ou encore : $u_n=2n \left(1-\dfrac{1}{n^{2}}\right)\times \left(\dfrac{1}{1-\dfrac{2}{n}}\right)$. On sait que : $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} 2n =+\infty$ , $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} 1-\dfrac{1}{n^{2}}=1$ et que : $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \dfrac{1}{1-\dfrac{2}{n}}=1$ donc avec la propriété des produits de limites :$\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_n=+\infty$
C
Limite d'un quotient (propriétés admises):
Tableau récapitulatif des quotients de limites (admis) :
On applique la règle des signes si besoin, selon le signe de $L$ et de l'infini.
Exemple 1 :
Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ les suites définies pour tout $n\in \mathbb N^{*}$ par $u_n=2+\dfrac{1}{n^{2}}$ et $v_n=n$. On sait que : $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} =\dfrac{1}{n^{2}}=0$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} =2+\dfrac{1}{n^{2}}=2$, par propriétés des sommes de limites. On sait que : $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} =n=+\infty$ On a alors : $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{2+\dfrac{1}{n^{2}}}{n}=0$ par application de la propriété des quotients de limites : $\dfrac{L}{\infty}\rightarrow 0$.
Exemple 2 :
1 er cas : Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ les suites définies pour tout $n\in \mathbb N^{*}$ par $u_n=n^{2}$ et $v_n=n$. On obtient : $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{u_n}{v_n}=+\infty$ . 2ème cas : Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ les suites définies pour tout $n\in \mathbb N^{*}$ par $u_n=n$ et $v_n=n^{2}$ On obtient : $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{u_n}{v_n}=0$ . Les deux cas n'ont pas la même limite, on ne peut donc pas donner un résultat général pour le schéma :"$\infty \times 0$". On ne peut pas dire à l'avance qui l'emporte entre les deux suites. C'est une forme Indertéerminée.
Méthode :
Lever une indertermination : $\dfrac{\infty}{\infty}$
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n\in \mathbb N$ par $u_n=\dfrac{n^{2}+2}{2n^{2}-1}$. On sait que : $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} n^{2}+2 =+\infty$ et $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} 2n^{2}-1=+\infty$. On est donc sur une forme indéterminée : $\dfrac{\infty}{\infty}$ On factorise chaque expression par son terme de plus haut degré : $u_n=\dfrac{n^{2}\left(1+\dfrac{2}{n^{2}}\right)}{n^{2}\left(2-\dfrac{1}{n^{2}}\right)}$ ou encore : $u_n=\dfrac{1+\dfrac{2}{n^{2}}}{2-\dfrac{1}{n^{2}}}$ On sait que : $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} 1+\dfrac{2}{n^{2}} =1$ , et $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} 2-\dfrac{1}{n^{2}}=2$ On a "levé" l'indétermination. donc avec la propriété des quotients de limites :$\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_n=\dfrac{1}{2}$
Theoreme 1: Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites définies sur $\mathbb N$. Si, à partir d'un certain rang $N$, on a $u_n < v_n$, et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n=+\infty$ , alors $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}v_n=+\infty$ Theoreme 2: Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites définies sur $\mathbb N$. Si, à partir d'un certain rang $N$, on a $v_n < u_n$, et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n=-\infty$ , alors $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}v_n=-\infty$
Méthode :
Lever une indertermination avec un théorème de comparaison
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n\in \mathbb N$ par $u_n=3n^{2}+\sqrt{2n^{3}+3n^{2}+4n+5}$. L'expression sous la racine carrée est complexe et n'est pas une fonction de "référence". Pour lever cette difficulté, on remarque que : $\forall n\in \mathbb N, u_n \geq 3n^{2}$ Or, on sait que : $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} 3n^{2} =+\infty$ En application du théorème de comparaison, $(u_n)$ étant supérieure à une suite divergente vers $+\infty$ on obtient :$\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_n=+\infty$
Theoreme 3: Soit $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$, trois suites définies sur $\mathbb N$. Si, à partir d'un certain rang $N$, on a $v_n < u_n < w_n$, et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n=\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} w_n=L\in\mathbb R$ , alors $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}u_n=L$
Remarque 1 :
On appelle aussi ce théorème, le théorème des gendarmes.
Méthode :
Lever une indertermination avec le théorème des gendarmes Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout $n\in \mathbb N$ par $u_{n}=\dfrac{5+\cos (n)}{n}$. On cherche à déterminer $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}u_n$. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on sait que: $\phantom{\iff}-1 \leq \cos (n) \leq 1$ $ \iff -1+5 \leq 5+\cos (n) \leq 5+1$ $ \iff 4 \leq 5+\cos (n) \leq 6,$ on peut diviser par $n$ car $n>0$ : $\dfrac{4}{n} \leq \dfrac{5+\cos (n)}{n} \leq \dfrac{6}{n}$ Ce qui permet de déduire que : $\dfrac{4}{n} \leq u_{n} \leq \dfrac{6}{n}$ Or, d'une part: $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \dfrac{4}{n}=0$ et d'autre part: $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \dfrac{6}{n}=0$ La suite $(u_n)$ est donc "encadrée" par deux suites qui convergent vers $0$. Donc, d'après le théorème des gendarmes $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=0$
Exercice 1 : Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb {N}$ par : $u_{n}=\dfrac{2 n+1}{n+5}$ Correction écrite Exercice 2 : Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n >1$ par : $u_{n}=\dfrac{2 n^{2}-3 n+2}{1-n}$ Correction écrite Exercice 3 : Soit, pour tout entier $n$, $u_n=\dfrac{\cos(n)}{n+1}$. Montrer que pour tout entier $n$, $-\dfrac{1}{n+1}\leqslant u_n\leqslant \dfrac{1}{n+1}$, puis en déduire la limite de la suite $(u_n)$. Correction écrite Exercice 4 : Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n $ par : $u_{n}=(-1)^{n}+n+2$ Correction écrite Exercice 5 : Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n$ par : $u_{n}=\dfrac{1-2 \sin (n)}{n^{2}+1}$ Correction écrite Exercice 6 : Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n >1$ par : $u_{n}=\dfrac{\sin (n)+n^{2}}{n+1}$ Correction écrite
