Limites de Suites (exercices corrigés)

Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n >1$ par : $u_{n}=\dfrac{1-2 \sin (n)}{n^{2}+1}$
Correction
Pour tout entier naturel $n$, on sait que:
$-1 \leq \sin (n) \leq 1$
$\iff 2 \geq-2 \sin (n) \geq-2,$ (on a multiplié par un négatif donc on change le sens de l'inégalité.)
$\iff -2 \leq-2 \sin (n) \leq 2$
$\iff 1-2 \leq 1-2 \sin (n) \leq 1+2$
$\iff -1 \leq 1-2 \sin (n) \leq 3,$
$\iff \dfrac{-1}{n^{2}+1} \leq \dfrac{1-2 \sin (n)}{n^{2}+1} \leq \dfrac{3}{n^{2}+1}$ (on divise par $n^{2}+1$ qui est strictement positif)
On obtient alors : $$\dfrac{-1}{n^{2}+1} \leq u_{n} \leq \dfrac{3}{n^{2}+1}$$
D'une part: $\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} \dfrac{-1}{n^{2}+1}=0$ et d'autre part: $\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} \dfrac{3}{n^{2}+1}=0$
D'après le théorème des gendarmes $$\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=0$$