Limites de Suites (exercices corrigés)

Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n >1$ par : $u_{n}=(-1)^{n}+n+2$
Correction
Pour tout entier naturel $n,$ on sait que:
$-1 \leq(-1)^{n} \leq 1$ équivaut successivement à $-1+n+2 \leq(-1)^{n}+n+2 \leq 1+n+2$
donc on obtient $$n+1 \leq u_{n} \leq n+3$$
D'une part: $\lim\limits\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} n+1=+\infty$
D'autre part: $\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} n+3=+\infty$
Attention, ici on n'applique pas le théorème des gendarmes car les limites ne sont pas des valeurs finies.
On va garder l'inégalité de gauche, ce qui donne: $n+1 \leq u_{n}$
Comme $\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} n+1=+\infty$ et $u_{n} \geq n+1$ alors d'après le théorème de comparaison $n_{\infty} u_{n}=+\infty$
Un énoncé plus favorable aurait pu proposer en question intermédiaire de prouver que pour tout entier $n$, $n+1 \leq u_{n}$