Limites de Suites (exercices corrigés)

Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb {N}$ par : $u_{n}=\dfrac{2 n+1}{n+5}$


On sait avec les limites de suites de références que :
$\lim\limits_{n \rightarrow+\infty}2n+1 = +\infty$
$\lim\limits_{n \rightarrow+\infty}n+5 = +\infty$
$u_{n}$ est donc sous une forme indéterminée $\dfrac{+\infty}{+\infty}$
Pour "lever" l'indetermination, on factorise par le terme de plus haut degré chaque expression :
$u_{n}=\dfrac{2 n+1}{n+5}=\dfrac{2 n\left(1+\dfrac{1}{2 n}\right)}{n\left(1+\dfrac{5}{n}\right)}=2 \dfrac{1+\dfrac{1}{2 n}}{1+\dfrac{5}{n}}$
$\lim\limits_{n \rightarrow+\infty}\left(1+\dfrac{1}{2 n}\right)=1$ et $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty}\left(1+\dfrac{5}{n}\right)=1 $
Soit, avec la propriété des produits et quotients des limites $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n}=2$