Exercice 3 :

Soit, pour tout entier $n$, $u_n=\dfrac{\cos(n)}{n+1}$.
Montrer que pour tout entier $n$,
$-\dfrac{1}{n+1}\leqslant u_n\leqslant \dfrac{1}{n+1}$,
puis en déduire la limite de la suite $(u_n)$.
Pour tout entier $n$, on a $-1\leqslant \cos(n)\leqslant 1$.
Ainsi, en multipliant ces inégalités par $\dfrac{1}{n+1}>0$,
on obtient
$-\dfrac{1}{n+1}\leqslant u_n\leqslant \dfrac{1}{n+1}$.
Comme $\lim\limits_{n\to+\infty} -\dfrac{1}{n+1}=0$
et $\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{1}{n+1}=0$, on en déduit donc,
d'après le théorème des gendarmes,
$\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=0$