Limites de Suites (exercices corrigés)

Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n >1$ par : $u_{n}=\dfrac{\sin (n)+n^{2}}{n+1}$
Correction
Pour tout entier naturel $n,$ on sait que:
$-1 \leq \sin (n) \leq 1$
$\iff -1+n^{2} \leq \sin (n)+n^{2} \leq 1+n^{2},$
$\iff \dfrac{-1+n^{2}}{n+1} \leq \dfrac{\sin (n)+n^{2}}{n+1} \leq \dfrac{1+n^{2}}{n+1}$ (on divise par $n+1$ qui est strictement positif)
$\iff \dfrac{-1+n^{2}}{n+1} \leq u_{n} \leq \dfrac{1+n^{2}}{n+1}$
On ne conserve que :$$ u_{n} \geq \dfrac{-1+n^{2}}{n+1} $$
Calculons :
$\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} \dfrac{-1+n^{2}}{n+1}$
Pour relever cette indétermination, nous factoriserons par $n^{2}$ au numérateur et par $n$ au dénominateur.
C'est-à-dire que l'on factorise le numérateur par son monôme de plus haut degré ici $n^{2}$ et on factorise le dénominateur par son monôme de plus haut degré ici $n$ :
$\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} \dfrac{-1+n^{2}}{n+1}=\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} \dfrac{n^{2}\left(-\dfrac{1}{n^{2}}+1\right)}{n\left(1+\dfrac{1}{n}\right)} .$
Nous allons simplifier le numérateur et le dénominateur par $n$
$\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} \dfrac{-1+n^{2}}{n+1}=\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} \dfrac{n\left(\dfrac{-1}{n^{2}}+1\right)}{1+\dfrac{1}{n}}$
$\left.\begin{array}{rl}\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} n\left(\dfrac{-1}{n^{2}}+1\right) & =+\infty \\ \lim\limits _{n \rightarrow+\infty} 1+\dfrac{1}{n} & =1\end{array}\right\}$ par propriété des quotients, $\lim\limits _{n \rightarrow+\infty}
\dfrac{n\left(\dfrac{-1}{n^{2}}+1\right)}{1+\dfrac{1}{n}}=+\infty$
Finalement $$ \lim\limits _{n \rightarrow+\infty} \dfrac{-1+n^{2}}{n+1}=+\infty$$
Attention, ici on n'applique pas le théorème des gendarmes car les limites ne sont pas des valeurs finies.
Comme $\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} \dfrac{-1+n^{2}}{n+1}=+\infty$ et $u_{n} \geq \dfrac{-1+n^{2}}{n+1}$ alors d'après le théorème de comparaisons $\quad \lim\limits _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=+\infty$s