Triangle rectangle : Égalité de Pythagore

Vidéo historique de présentation de Pythagore de l'excellentissime Mickaël Launay :

Activité pour découvrir le théorème de Pythagore :

Pour s'évaluer :
Accès avec indentifiants
$\quad$ Accès sans indentifiants

I
Définition-Vocabulaire

Définition 1 :
Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté du triangle opposé à l’angle droit.
Exemple 1 :


Remarque 1 :
L’hypoténuse est toujours le côté le plus long.
II
Théorème & Application
Propriété 1 :
Théorème de Pythagore :
Si un triangle est rectangle , alors le carré de la longueur de son hypoténuse
est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Exemple 1 :
Soit le triangle ABC rectangle en A
[BC] est donc l'hypoténuse, donc on a : $BC^2=AC^2+BA^2$.


Remarque 1 :
Le théorème de Pythagore sert à calculer une longueur
lorsque l’on connaît 2 côtés d'un triangle rectangle.
Pour s'évaluer :
Accès avec indentifiants
$\quad$ Accès sans indentifiants

Méthode :
Soit DEF un triangle rectangle en E ,
EF=5 et FD =13 , que vaut la mesure de [DE]?


On sait que le triangle DEF est rectangle en E .
[DF] est l'hypoténuse.
D'après le théorème de Pythagore,
on a : $DF^2=EF^2+ED^2$
d'où $13^2=5^2+ED^2$
$169=25+ED^2$
$ED^2=169-25$
$ED^2=144$
$ED=12$
Pour trouver la longueur de DE,
il faut chercher le nombre positif qui au carré vaut 144.
On utilise la racine carrée : $\sqrt{\phantom{\quad}}$.
$DE=\sqrt {144}=12$

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Pour s'évaluer :
Accès avec indentifiants
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III
Racine carrée

Définition 1 :
Soit un nombre $a$ positif. $\sqrt {a}$ est le nombre positif dont le carré vaut a.
Exemple 1 :
Si avec le théorème de Pythagore, on arrive à :
DE²=144 donc $DE =\sqrt {144}=12$
Exemple 2 :
$5^2=25$ donc $\sqrt{25}=5$.
Définition 2 :
On appelle carré parfait , un nombre entier positif dont la racine carrée est entière.
Nombre entier123456789101112
Carré Parfait149162536496481100121144
Remarque 1 :
Pour beaucoup de nombres, la racine carrée ne donne pas de valeur entière, ni même décimale.
On écrit alors simplement le nombre avec la racine carrée.
Exemple 3 :
Si on obtient avec le théorème de Pythagore, $AB^{2}=17$.
On ne connaît pas de carré parfait égal à 17.
On écrit alors simplement : $AB=\sqrt 17$
C'est une valeur exacte
On peut compléter avec une valeur approchée à la calculatrice : $AB\approx 4,1$
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IV
Déterminer si le triangle est rectangle ou non

A
Démontrer qu'un triangle est rectangle :
Le théorème de Pythagore dit que :
Si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ $\Rightarrow$ $A B^{2}+A C^{2}=B C^{2}$
Sa réciproque, qui est vraie (on ne la démontre pas en 4e) est :
Si $A B^{2}+A C^{2}=B C^{2}$ $\Rightarrow$ le triangle $ABC$ est rectangle en $A$
Propriété 1 :
Réciproque du théorème de Pythagore :
Si un triangle $A B C$ est tel que $A B^{2}+A C^{2}=B C^{2}$
Alors il est rectangle en A.
Remarque 1 :
La réciproque du théorème de Pythagore ne sert donc pas à calculer une longueur.
Si on connaît les trois longueurs d'un triangle la réciproque du théorème de Pythagore
nous permet de vérifier s'il est rectnagle.
Exemple 1 :
Soit un triangle ABC tel que $AB=8$ , $BC =10$ et $AC=6$.

Le triangle est-il rectangle?
On sait que [BC] est le côté le plus long donc pourrait être l’hypoténuse.
Calculons d'une part $BC^2$ et d'autre part $AB^2+AC^2$.
$BC^2=10^2=100$
$AB^2+AC^2=8^2+6^2=64+36=100$
On a donc prouvé que : $BC^2 = AB^2+AC^2$
D'après la réciproque du théorème de Pythagore,
le triangle est rectangle en A.

B
Démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle :

Propriété 1 :
Si $A B^{2}+A C^{2} \neq B C^{2}$ alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$
Remarque 1 :
On appelle cette propriété la contraposée du théorème.
Attention de ne pas confondre avec la réciproque.
Exemple 1 :
Soit la proposition : "Si je lis le cours sur ce site, alors je m'intéresse aux maths"
La réciproque serait :
"Si je m'intéressse aux maths, alors je lis le cours sur ce site".
Une réciproque n'est pas toujours vraie. Celle-ci est clairement fausse.
La contraposée serait :
"Si je ne m'intéresse pas aux maths, alors je ne lis pas le cours sur ce site"
La contraposée est toujours vraie.
Exemple 2 :
Soit un triangle ABC tel que $AB=4$ , $BC =3$ et $AC=5,1$.

Le triangle est-il rectangle?

On sait que [AC] est le côté le plus long donc pourrait être l’hypoténuse.
Calculons d'une part $AC^2$ et d'autre part $AB^2+BC^2$.
$AC^2=5,1^2=26,01$
$AB^2+BC^2=4^2+3^2=16+9=25$
Donc
$AC^2 \ne AB^2+BC^2$
L’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée
donc le triangle n’est pas rectangle.

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V
Problèmes autour du théorème de Pythagore :
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QUIZZ

Cliquer sur les réponses de votre choix.

Dans ce triangle, l'hypoténuse est
[AB][BC][AB]

Dans ce triangle, DE est égale à :
105,29 $\sqrt 28$

Ce triangle ...:
n'est pas rectangle.est rectangle en Iest rectangle en J

BC vaut:
5,33,5$\sqrt 12,41$