Exercices Théorème de Pythagore

Exercice 3
AMN est un triangle rectangle en M. Les mesures nécessaires sont sur la figure.
1. Calculer la longueur du segment [AN]. Justifier votre calcul par une propriété.
2. Le triangle ABC est-il rectangle? Justifier.

---

Correction
Les dimensions sont en centimètres.
1. Calculer les longueurs $M N$ , $M C$ puis $NC$.
$\bullet\quad$ Calcul de $MN$ :
Le triangle $AMN$ est rectangle en A.
D'après le théorème de Pythagore: $M N^{2}=A M^{2}+A N^{2}$
Soit: $M N^{2}=3^{2}+3^{2}=18$
et $M N=\sqrt{18} \simeq 4,243$
$\bullet\quad$ Calcul de $MC$ :
Le triangle MBC est rectangle en B.
D'après le théorème de Pythagore: $M C^{2}=M B^{2}+B C^{2}$
Soit: $M C^{2}=5^{2}+5^{2}=50$
et $M C=\sqrt{50} \simeq 7,071$
$\bullet\quad$ Calcul de $NC$ :
Le triangle NCD est rectangle en D.
ABCD est un rectangle donc :
$N D=A D-A N=5-3=2 \mathrm{cm} .$
D'après le théorème de Pythagore: $N C^{2}=N D^{2}+D C^{2},$
soit : $N C^{2}=2^{2}+8^{2}=68$
et $N C=\sqrt{68} \simeq 8,246$
2. Dans le triangle MNC :
le plus grand côté est $\mathrm{NC}$.
$ N C^{2}=68$ et $M C^{2}+M N^{2}=50+18=68$
Ainsi : $M C^{2}+M N^{2}=N C^{2}$.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle MNC est rectangle en M.
3. L'aire du triangle AMN est: $A_{A M N}=\frac{A M \times A N}{2}=\frac{3 \times 3}{2}=4,5 \mathrm{cm}^{2}$