Sur une droite graduée munie d’une origine $O$ et d’une graduation, on considère un point $M$ d’abscisse $x$. La valeur absolue de $x$, notée $\vert x \vert $ est le nombre égal à la distance OM.
:exemple : On considère la droite graduée ci-dessous, d'origine O et dotée des points $A$ et $B$, d'abscisse respective $2$ et $-3$. Par application de la définition, $OA=\vert 2 \vert$ et $OB=\vert -3 \vert$ Comme on sait que $OA=2$ et $OB=3$, on en déduit que :$\vert 2 \vert = 2$ et $\vert -3 \vert = 3$ Comme une distance est positive, $\quad\bullet \quad$ Si l'abscisse est positive, la valeur absolue de l'abscisse est égale à l'abscisse. $\quad\bullet \quad$ Si l'abscisse est négative, la valeur absolue de l'abscisse est égale à l'opposé de l'abscisse.
On appelle valeur absolue d'un réel $x$, le nombre noté $\lvert x \rvert$ tel que : $\quad\bullet$ Si $x \geqslant 0 ~~\text{alors}~~ \vert x \vert =x$ $\quad\bullet$ Si $x \leqslant 0 ~~\text{alors}~~\vert x \vert =-x $
Exemple 1 :
$\quad\bullet$ $A = \vert 4 \vert$, comme $4>0$ alors $\vert 4 \vert=4$ donc $A = 4$ $\quad\bullet$ $B= \vert -3\vert$, comme $-3<0$, on a $\vert -3 \vert =-(-3)=3$ donc $B= \vert -3\vert =3 $ $\quad\bullet$ $ C=\vert 1 -\sqrt{3} \vert$ . Comme $\sqrt 3 >1$, on a $1 - \sqrt 3 <0$. Donc $C=\vert 1 -\sqrt{3} \vert=-(1-\sqrt{3})=\sqrt{3}-1 $ $\quad\bullet$ $D=\vert x-2\vert$. $\quad\quad\diamond$ Si $x>2$ alors $x-2>0$, donc $\vert{x-2}\vert=x-2$ $\quad\quad\diamond$Si $x<2$ alors $x-2<0$, donc $\vert {x-2}\vert=-(x-2)=-x+2$
La distance $d$ entre deux nombres $a$ et $b$ est égale à $\vert a-b\vert$
Exemple 1 :
$\quad\bullet$ La distance entre 3 et 1 vaut : $d=\vert 3 - 1\vert = \vert 2\vert =2.$ $\quad\bullet$ Elle est évidemment égale à la distance entre 1 et 3 : $d=\vert 1 -3 \vert = \vert -2\vert =2.$ $\quad\bullet$ La distance entre -4 et -1 vaut : $d=\vert -4 - (-1)\vert = \vert -4+1\vert =\vert -3\vert =3.$
Applications Résoudre dans $\mathbb R$, $\vert x - 1\vert = 2.$ Résolution géométrique : Résoudre dans $\mathbb R$, $\vert x - 1\vert = 2$ est équivalent à chercher les réels $x$ dont la distance à 1 est égale à 2. Graphiquement, on trouve : $S=\{-1;3\}$
Résolution algébrique d'équations (notion à la limite du programme):
Propriété 1 :
Soit $a\in\mathbb R_{+}$, $X$ une expression algébrique. Les solutions de l'équations $\vert X \vert =a$, est la réunion des solutions des deux équations : $X=a$ et $X=-a$
Exemple 1 :
Pour résoudre dans $\mathbb R$, $\vert 2 x - 1\vert = 3$ On résout donc deux équations : $\quad2x-1=3 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad 2x-1=- 3 $ $\iff 2x=4\quad\quad\quad\quad\quad\quad \iff 2x=-2$ $\iff x=2\quad\quad\quad\quad\quad\quad \iff x=-1$ On obtient : $S=\{-1;2\}$
Dans chacun des cas, déterminer la valeur de $|x|$. 1. $x=-2$ 2. $x=3$ 3. $x=\dfrac{2}{3}$ 4. $x=1-\sqrt{2}$ 5. $x=-\dfrac{8}{7}$ 6. $x=\pi-3$ 7. $x=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}$ Correction en ligne Simplifier au maximum l'écriture des nombres sulvants: $\begin{array}{lll} A=|1-5|&B=|3-9|&C=|1+\sqrt{3}|\\ D=|1-\sqrt{3}|&E=\left|-5-\frac{3}{2}\right|&F=-|3|+|1|\\ G=|-5-3| \times(-2)+5 \times|3-8|&\\ \end{array}$ Correction en ligne
B
Distance :
Dans chacun des cas, écrire à l'aide d'une valeur absolue la distance entre les points $A$ et $B$ puis fournir sa valeur numérique : 1. $A(2)$ et $B(5)$ 2. $A(-4)$ et $B(5)$ 3. $A(-2)$ et $B(-7)$ Correction en ligne
C
equations/inéquations :
Interpréter à l'aide de distance puis résoudre les équations et inéquations sulvantes: 1. $|x+3|=3$ 2. $|x+3|=8$ 3. $|x-5|=3 $ 4. $|12-x|=9$ 5. $|2 x-5|=3$ 6. $|x-3| \leqslant 1$ 7 $|x-5| \geqslant 2$ Correction en ligne
Graphiquement, on trouve : $S=\{-1;3\}$