Si deux triangles ABC et AMN sont tels que $\quad \bullet M \in(A B) $ $\quad \bullet N \in(A C) $ $\quad \bullet (BC) // (MN)$ Alors on a l'égalité :$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}\quad\dfrac{\text{côté du triangle AMN}}{\text{côté du triangle ABC}}$
B
Situations de Thalès :
Illustration : Il y a 3 situations de Thalès : $\quad \bullet $ Situation 1: $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$ et $({MN}) / /({BC})$ (Attention à la notation $[AB]$ qui est un segment) $\quad \bullet $ Situation 2: $M \in [AB)$ et $N \in [AC)$ et $({MN}) / /({BC})$ (Attention à la notation $[AB)$ qui est une demi-droite) $\quad \bullet $ Situation $3: \quad M \in (A B)$ et $N \in (A C)$ et $(B C) / /(M N)$ (Attention à la notation $(AB)$ qui est une droite) On appelle la 3ème situation la situation : "papillon".
Sur la figure ci-dessous, les points ${R}, {S}, {T}$ d'une part et les points ${R}, \cup, {V}$ d'autre part sont alignés. Les droites (ST) et (TV) sont parallèles. Calcule RS et RV.
Méthode :
Dans les triangles RSU et RTV, on a : $\quad \bullet S \in(RT)$ $\quad \bullet U \in(RV)$ $\quad \bullet (SU) / /(TV)$ D'après le théorème de Thalès : $\dfrac{{RS}}{RT}=\dfrac{RU}{RV }=\dfrac{SU}{TV}$ En remplaçant par les données numériques, on a : $\dfrac{R S}{3}=\dfrac{2,5}{RV }=\dfrac{4}{5}$ Calcul de RS : $\dfrac{R S}{3}=\dfrac{4}{5}$ d'où $RS\times 5 =3 \times 4 ; \quad$ Soit ${RS}=\dfrac{3\times 4}{5}=\dfrac{12}{5}=2,4$ Calcul de RV : On part de : $\dfrac{2,5}{RV }=\dfrac{4}{5}$ Donc ${RV}\times 4=2,5 \times 5$ d'où ${RV}=\dfrac{12,5}{4}=\dfrac{25}{8}=3,125$
D
Application en situation "papillon"
Exemple 1 :
Les points M, A, C sont alignés et les points N, A, B aussi. On a $(MN)//(BC)$ . Calculer la longueur $MN$.
Méthode :
Dans les triangles ${AMN}$ et ${ABC}$, on a $\quad\bullet \quad M \in(A C)$ $\quad\bullet \quad N \in(A B)$ $\quad\bullet \quad ({BC}) / /({MN})$ D'après le théorème de Thalès, $\dfrac{{AM}}{{AC}}=\dfrac{{AN}}{{AB}}=\dfrac{{MN}}{{BC}}$ En remplaçant par les données numériques, on a : $\dfrac{0,6}{1,8}=\dfrac{A N}{A B}=\dfrac{M N}{2,1}$ Calcul de MN: $\dfrac{0,6}{1,8}=\dfrac{{MN}}{2,1}$ d'où $0,6\times 2,1= M N\times 1,8 $ soit ${MN}=\dfrac{0,6 \times 2,1}{1,8} $ donc ${MN}=0,7 {cm}$
Pour démontrer que deux droites ne sont pas parallèles, on peut utiliser la contrraposée du théorème de Thalès. C'est à dire que si on prouve que les rapports de Thalès ne sont pas égaux, alors les droites ne seront pas parallèles.
Exemple 1 :
Dans cette figure, on donne: $ \begin{array}{l} E G=3 {cm} \\ G D=7 {cm} \\ FG=4 {cm} \\ G H=9 {cm} \end{array} $ Les droites (EF) et (HD) sont-elles parallèles? On calcule séparément les rapports de Thalès: $\dfrac{E G}{G D}=\dfrac{3}{7}=\dfrac{27}{63}$ $\dfrac{{GF}}{{GH}}=\dfrac{4}{9}=\dfrac{28}{63}$ On constate que $\dfrac{{EG}}{{GD}} \neq \dfrac{{GF}}{{GH}}$ Les droites (EF) et (HD) ne sont pas parallèles.
Réciproque du théorème de Thalès Soient (d) et (d') deux droites sécantes en A. $B$ et $M$ sont deux points de $(d)$ distincts de $A$. $C$ et $N$ sont deux points de $(d')$ distincts de $A$. $\quad\bullet \quad$ Si les points $A, B, M$ d'une part et les points $A, C, N$ d'autre part sont alignés dans le même ordre $\quad\bullet \quad \dfrac{{AM}}{{AB}}=\dfrac{{AN}}{{AC}}$ alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Exemple 1 :
On donne $O M=2,8 {cm}$ ; $O N=5,4 {cm}$ ; $O S=2,7 {cm}$ ; et $O T=1,4 {cm}$ Démontre que les droites (MN) et (ST) sont parallèles.
Méthode :
On calcule séparément les rapports de Thalès: D 'une part, $\dfrac{OS}{ON}=\dfrac{2,7}{5,4}=0,5$ D 'autre part, $\dfrac{OT}{OM}=\dfrac{1,4}{2,8}=0,5$ On constate que $\dfrac{OS}{ON}=\dfrac{OT}{OM}$ De plus, les points $S, O, N$ une part et $T, O, M$ d'autre part sont alignés dans le même ordre . Donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (ST) et (MN) sont parallèles.
Lorsque deux figures $\mathcal{F}$ et $\mathcal{F'}$ ont la même forme et des longueurs proportionnelles, on dit que l'une est un agrandissement ou une réduction de l'autre.
Exemple 1 :
Voici trois photos d'un mathématicien célèbre : La 2ème image est plus petite que la première, mais ce n'est pas une réduction car elle n'a pas la même forme. La 3ème image est bien une réduction de la première image car les longueurs sont proportionnelles et elles ont la même forme.
Propriété 2 :
Dans un agrandissement ou une réduction, les mesures des angles, la perpendicularité et le parallélisme sont conservés.
Remarque 1 :
Si $\mathcal{F}$ est un agrandissement de $\mathcal{F'}$ alors $\mathcal{F'}$ est une réduction de $\mathcal{F}$.
Remarque 2 :
Le coefficient de proportionnalité $k$ est le rapport d'agrandissement ou de réduction.
Exemple 2 :
Le carré rouge de droite, A'B'C'D' est un agrandissement à l'échelle $3$ du carré ABCD. Le rectangle vert de droite, D'E'F'G' est une réduction à l'échelle $0,5$ du rectangle DEFG.
Remarque 3 :
Si $k>1$, c'est un agrandissement et si $0$<$k$<$1$, c'est une réduction.
Exemple 3 :
On parle par exemple d'un agrandissement de rapport $3$ (ou à l'échelle $3$) ou bien d'une réduction de rapport $\dfrac{1}{3}$ (ou d'échelle $\dfrac{1}{3}$) mais jamais de réduction à l'échelle $3$ .
Exemple 4 :
Dans cette situation de Thalès, où $(HD)//(EF)$, les deux triangles EFG et GHD ont leurs côtés propotionnels. Le triangle EFG est une réduction du triangle GHD. Le coefficient de réduction $k$ se calcule en divisant les côtés respectifs : $k=\dfrac{{GH}}{{GF}}=\dfrac{{GD}}{{GE}}=\dfrac{{HD}}{{EF}}$
Les droites (VL) et (CN) sont sécantes en A. (LC) et (VN) sont perpendiculaires à (CN). Le triangle LAC est-il une réduction du triangle VAN ? Justifie ta réponse.
Méthode :
$\quad\bullet \quad$ Les triangles LAC et VAN sont deux triangles rectangles donc ils ont la même forme. $\quad\bullet \quad$ Vérifions que les longueurs sont proportionnelles : $\quad\quad\rightarrow \quad$ Les droites (CN) et (VL) sont sécantes en A. $\quad\quad\rightarrow \quad$ Les droites (LC) et (NV) sont perpendiculaires à la même droite (AN) donc elles sont parallèles. Donc, d'après le théorème de Thales, on en déduit que : $\dfrac{{AN}}{AC}=\dfrac{{AV}}{{AL}}=\dfrac{{NV}}{{LC}}$ Les longueurs des triangles VAN et LAC sont donc proportionnelles. On peut alors conclure que le triangle LAC est une réduction du triangle VAN.
Deux triangles sont semblables ou de même forme s’ils sont leurs angles deux à deux égaux.
Propriété 1 :
Si deux triangles ont deux angles deux à deux de même mesure, alors ces triangles sont semblables.
Définition 2 :
Lorsque deux triangles sont semblables : $\quad\bullet\quad$ Un angle d’un triangle et un angle de même mesure de l’autre triangle sont homologues; $\quad\bullet\quad$ Les sommets (ou les côtés opposés) de deux angles homologues sont aussi homologues.
Exemple 1 :
$\widehat{A B C}=\widehat{J K I}=60^{\circ} $ et $\widehat{B A C}=\widehat{J I K}=40^{\circ}$ Donc $\widehat{A C B}=\widehat{I J K}=180^{\circ}-\left(60^{\circ}+40^{\circ}\right)=80^{\circ}$ Les deux triangles suivants sont semblables car les angles de même couleur sont de même mesure.
B
Propriétés
Propriété 1 :
Si deux triangles sont semblables alors les longueurs des côtés opposés aux angles égaux sont proportionnelles.
Propriété 2 :
(Réciproque) Si deux triangles ont les longueurs de leurs côtés opposés proportionnelles alors ils sont également semblables.
Exemple 1 :
Remarque 1 :
Le théorème de Thalès est un cas particulier de deux triangles semblables
Exercice 4 : Soit la configuration suivante. On donne AD=3 cm, AC=5 cm, AE=4cm et BC=4cm. Calculer AB et ED.
Correction écrite Exercice 5 : Soit la configuration suivante : On donne AD=4cm et AC=10cm, AE=2 cm, DE=3cm et BC=7cm. Montrer que les droites (DE) et (BC) ne sont pas parallèles.
Correction écrite Exercice 6 : Soit la figure suivante. AH=4cm AC=5cm AE=6cm et AT=7,5cm. Montrer que les droites (EH) et (TC) sont parallèles. Correction écrite
$k=\dfrac{{GH}}{{GF}}=\dfrac{{GD}}{{GE}}=\dfrac{{HD}}{{EF}}$
Soit la configuration suivante :
Soit la figure suivante.