Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté du triangle opposé à l’angle droit.
Exemple 1 :
Remarque 1 :
L’hypoténuse est toujours le côté le plus long.
II
Théorème & Application
Propriété 1 :
Théorème de Pythagore : Si un triangle est rectangle , alors le carré de la longueur de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Exemple 1 :
Soit le triangle ABC rectangle en A [BC] est donc l'hypoténuse, donc on a : $BC^2=AC^2+BA^2$.
Remarque 1 :
Le théorème de Pythagore sert à calculer une longueur lorsque l’on connaît 2 côtés d'un triangle rectangle.
Soit DEF un triangle rectangle en E , EF=5 et FD =13 , que vaut la mesure de [DE]?
On sait que le triangle DEF est rectangle en E . [DF] est l'hypoténuse. D'après le théorème de Pythagore, on a : $DF^2=EF^2+ED^2$ d'où $13^2=5^2+ED^2$ $169=25+ED^2$ $ED^2=169-25$ $ED^2=144$ $ED=12$ Pour trouver la longueur de DE, il faut chercher le nombre positif qui au carré vaut 144. On utilise la racine carrée : $\sqrt{\phantom{\quad}}$. $DE=\sqrt {144}=12$
Soit un nombre $a$ positif. $\sqrt {a}$ est le nombre positif dont le carré vaut a.
Exemple 1 :
Si avec le théorème de Pythagore, on arrive à : DE²=144 donc $DE =\sqrt {144}=12$
Exemple 2 :
$5^2=25$ donc $\sqrt{25}=5$.
Définition 2 :
On appelle carré parfait , un nombre entier positif dont la racine carrée est entière.
Nombre entier
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Carré Parfait
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
Remarque 1 :
Pour beaucoup de nombres, la racine carrée ne donne pas de valeur entière, ni même décimale. On écrit alors simplement le nombre avec la racine carrée.
Exemple 3 :
Si on obtient avec le théorème de Pythagore, $AB^{2}=17$. On ne connaît pas de carré parfait égal à 17. On écrit alors simplement : $AB=\sqrt 17$ C'est une valeur exacte On peut compléter avec une valeur approchée à la calculatrice : $AB\approx 4,1$
Le théorème de Pythagore dit que : Si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ $\Rightarrow$ $A B^{2}+A C^{2}=B C^{2}$ Sa réciproque, qui est vraie (on ne la démontre pas en 4e) est : Si $A B^{2}+A C^{2}=B C^{2}$ $\Rightarrow$ le triangle $ABC$ est rectangle en $A$
Propriété 1 :
Réciproque du théorème de Pythagore : Si un triangle $A B C$ est tel que $A B^{2}+A C^{2}=B C^{2}$ Alors il est rectangle en A.
Remarque 1 :
La réciproque du théorème de Pythagore ne sert donc pas à calculer une longueur. Si on connaît les trois longueurs d'un triangle la réciproque du théorème de Pythagore nous permet de vérifier s'il est rectnagle.
Exemple 1 :
Soit un triangle ABC tel que $AB=8$ , $BC =10$ et $AC=6$. Le triangle est-il rectangle? On sait que [BC] est le côté le plus long donc pourrait être l’hypoténuse. Calculons d'une part $BC^2$ et d'autre part $AB^2+AC^2$. $BC^2=10^2=100$ $AB^2+AC^2=8^2+6^2=64+36=100$ On a donc prouvé que : $BC^2 = AB^2+AC^2$ D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en A.
B
Démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle :
Propriété 1 :
Si $A B^{2}+A C^{2} \neq B C^{2}$ alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$
Remarque 1 :
On appelle cette propriété la contraposée du théorème. Attention de ne pas confondre avec la réciproque.
Exemple 1 :
Soit la proposition : "Si je lis le cours sur ce site, alors je m'intéresse aux maths" La réciproque serait : "Si je m'intéressse aux maths, alors je lis le cours sur ce site". Une réciproque n'est pas toujours vraie. Celle-ci est clairement fausse. La contraposée serait : "Si je ne m'intéresse pas aux maths, alors je ne lis pas le cours sur ce site" La contraposée est toujours vraie.
Exemple 2 :
Soit un triangle ABC tel que $AB=4$ , $BC =3$ et $AC=5,1$. Le triangle est-il rectangle?
On sait que [AC] est le côté le plus long donc pourrait être l’hypoténuse. Calculons d'une part $AC^2$ et d'autre part $AB^2+BC^2$. $AC^2=5,1^2=26,01$ $AB^2+BC^2=4^2+3^2=16+9=25$ Donc $AC^2 \ne AB^2+BC^2$ L’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée donc le triangle n’est pas rectangle.
Exercice 1 En utilisant les données de la figure (longueurs en centimètres), 1. Calculer AC. 2. Calculer CD. Correction écrite Exercice 2 AMN est un triangle rectangle en M. Les mesures nécessaires sont sur la figure. 1. Calculer la longueur du segment [AN]. Justifier votre calcul par une propriété. 2. Le triangle ABC est-il rectangle? Justifier. Correction écrite Exercice 3 Sur la figure ci-contre, ABCD est un rectangle mais le dessin n'a pas été exécuté en vraies grandeurs. Les dimensions sont en centimètres. 1. Calculer les longueurs MN, MC puis NC. 2. Le triangle MNC est-il rectangle? Justifier votre réponse 3. Calculer l'aire du triangle AMN. Correction écrite Exercice 3 Un tremplin sur un parcours de mini-golf a la forme d'un prisme droit à base triangulaire. Le revêtement posé sur l'une de ses faces, en gris sur la figure, a coute 128,52 €. Quel est le prix au mètre-carré de ce revêtement? Justifier.
