Les Fractions et quotient

I
Définition-Vocabulaire

Définition 1 :
Soit deux nombres $n$ et $d$ ($ d \ne 0$).
Le quotient de $n$ par $d$ est le nombre qui multiplié par $d$, donne $n$.
On peut l’écrire en écriture fractionnaire : $\dfrac{n}{d }$ .
Exemple 1 :
Soit deux nombres 5 et 7 .
Le quotient de 5 par 7 est le nombre qui multiplié par 7, donne 5.
On peut l’écrire en écriture fractionnaire : $\dfrac{5}{7 }$
On vérifie que $7 \times \dfrac{5}{7 } =5$
Définition 2 :
n est appelé le numérateur et d le dénominateur.
$\dfrac{n}{d }$ est aussi le résultat de la division de $n$ par $d$.
$n \div d = \dfrac{n}{d }$
Exemple 2 :
$\quad\bullet$ Dans la fraction $\dfrac{6}{5}$ : 5 est le numétareur et 6 et le dénominateur.
$\quad\bullet$ Le résultat de la division de $8$ par $9$, c'est à dire le quotient de 8 par 9 est $\dfrac{8}{9}$.
Définition 3 :
Une fraction est une écriture fractionnaire dont le numérateur et le dénominateur sont entiers.
Pour s'évaluer :
Accès avec indentifiants
$\quad$ Accès sans indentifiants

II
Écritures fractionnaires égales

Propriété 1 :
Un quotient ne change pas quand on multiplie (ou divise) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.
$\dfrac{a}{b}= \dfrac{a \times k} {b \times k}= \dfrac{a \div d} {b \div d}$
Exemple 1 :
$\quad \bullet\dfrac {5}{7} =\dfrac{5 \times 8} {7 \times 8 } = \dfrac{40 }{56} \quad\quad\quad \bullet\dfrac{110}{30} = \dfrac{110 \div 10 } {30 \div 10} = \dfrac{11}{3}$ On dit que la fraction a été simplifiée.
Propriété 2 :
Pour trouver par quoi on peut diviser le numérateur et dénominateur de la fraction, on peut utiliser les critères de divisibilité :
Rappel de cours sur critères de divisibilité
S'entraîner seul :

Pour s'évaluer :
Accès avec indentifiants
$\quad$ Accès sans indentifiants

III
Comparaison de fractions

:ancien::
Propriété 1 :
Pour comparer des fractions, on peut :
Les réduire au même dénominateur et comparer les numérateurs (le sens de l’inégalité sera identique pour les fractions)
Exemple 1 :
Comparer $\dfrac{6}{4}$ et $\dfrac{14} {12}$ :
On réduit au même dénominateur : $ \dfrac{6}{4} =\dfrac {6 \times 3} {4 \times 3} =\dfrac{ 18}{12}$
On compare donc $\dfrac{18}{12}$ et $\dfrac{14}{12}$ or $18>14$
donc $\dfrac{18}{12}>\dfrac{14}{12}$ et $\dfrac{6}{4}>\dfrac{14} {12}$ 
S'entraîner seul :

S'entraîner seul :

Propriété 2 :
Pour comparer des fractions, on peut :
Les réduire au même numérateur et comparer les dénominateurs (le sens de l’inégalité sera l’inverse de celui des fractions).
Exemple 2 :
Comparer $\dfrac{8}{12}$ et $\dfrac{16}{20}$ :
$ \dfrac{8}{12} = \dfrac{8 \times 2}{12 \times 2}= \dfrac{16 }{24}$,
on compare donc $\dfrac{16 }{24}$ et $\dfrac{16}{20}$ or $24>20$
donc $\dfrac{16 }{24}< \dfrac{16}{20}$ et $\dfrac{8}{12} <\dfrac{16}{20}$ .
Attention, l'ordre des fractions est l'inverse de celui des dénominateurs.
A numérateur égal, plus le dénominateur est grand, plus la fration est petite.
Propriété 3 :
Pour comparer des fractions, on peut 
Comparer leurs écritures décimales.
Exemple 3 :
Comparer $\dfrac{5}{2}$ et $\dfrac{7}{4}$ :
$\dfrac{5}{2} = 5 \div 2={2,5}\quad$ et $\quad\dfrac{7}{4} =7 \div 4=1,75$
donc comme ${2,5}>{1,75}\quad$ alors $\quad\dfrac{5}{2} >\dfrac{7}{4}$
Attention, pour utiliser cette méthode, il faut que le quotient existe, que la fraction soit un nombre décimal.
Pour s'évaluer :
Accès avec indentifiants
$\quad$ Accès sans indentifiants

IV
Égalité des produits en croix

Propriété 1 :
Deux fractions sont égales si et seulement si leurs produits en croix sont égaux.
On a : $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ si et seulement si $a \times d = b \times c$.
Méthode :
On peut utiliser le produit en croix pour déterminer si deux fractions sont égales.
Exemple 1 :
Regardons si $\dfrac{7}{8}$ et $\dfrac{35}{40}$ sont égales.
Les produits en croix sont : $7 \times 40$ et $8 \times 35$
$7 \times 40 = 280$ et $8 \times 35 = 280$ .
Donc $\dfrac{7}{8} = \dfrac{35}{40}$
Méthode :
On peut utiliser le produit en croix pour compléter deux fractions égales.
Exemple 2 :
Déterminer le nombre $a$ tel que: $\dfrac{23}{15}=\dfrac{207}{a}$
On sait que les fractions sont égales donc ${23 \times a }={15 \times 207}$ .
${23 \times a }={15 \times 207}$
D’où ${23 \times a }={3105}$
$a$ est le nombre qui multiplié par 23 donne 3105, donc $a = \dfrac{3105}{23} = 135$
Pour s'évaluer :
Accès avec indentifiants
$\quad$ Accès sans indentifiants

V
Valeur approchée d’un quotient

Définition 1 :
A un rang donné :
- La troncature d’un nombre est sa valeur approchée par défaut.
- L’arrondi d’un nombre est, de sa valeur approchée par défaut ou par excès, celle qui est la plus proche.
Exemple 1 :
Nous allons procéder aux encadrements de $\dfrac{23}{7}$ et $\dfrac{23}{7} \approx 3,285714286$
RangEncadrement par les valeurs approchéespar défaut et par excèsTroncatureArrondiAxe gradué
A l'unité$3<\dfrac{23}{7}<4$33
Au dixième$3,2<\dfrac{23}{7}<3,3$3,23,3
Au centième$3,28<\dfrac{23}{7}<3,29$3,283,29
Au millième$3,285<\dfrac{23}{7}<3,286$3,2853,286

Pour s'évaluer :
Accès avec indentifiants
$\quad$ Accès sans indentifiants

VI
Préparer l'évaluation:
A
Définition d'une fraction, quotient et valeur décimame :
Exercice 1 :
Écrire sous forme décimale les nombres suivants : $\Large\frac{5}{4}~;~\frac{3}{5}~;~\frac{7}{2}~;~\frac{1}{3}$

B
Comparer les fractions :
Exercice 1 :
$$\text{Comparer les nombres suivants  : ~} \dfrac{4}{7}~\text{et}~\dfrac{7}{14}~~~;~~\dfrac{7}{8}~\text{et}~\dfrac{16}{15}~~~;~~~\dfrac{13}{4}~\text{et}~\dfrac{27}{8}~~~;~~~\dfrac{12}{15}~\text{et}~\dfrac{12}{14}$$