Mettre un problème en équation en vue de sa résolution.
Résoudre des équations du premier degré.
Notions de variable, d’inconnue.
Tester sur des valeurs numériques une égalité littérale pour appréhender la notion d’équation.
I
Introduction et vocabulaire :
$\quad\bullet\quad 1+1=2$ est une égalité VRAIE. $\quad\bullet\quad 1+1=3$ est une égalité FAUSSE. $\quad\bullet\quad 1+?=2$ est une égalité "à trou" utilisée en primaire. On l'utilise pour faire comprendre aux élèves qu'on cherche le nombre qui rend cette égalité vraie. ici, ?=1. Cette notation, d'égalité à trou, n'est pas rigoureuse. Dorénavant, nous écrirons cette égalité ainsi : $1+x=2$
Définition 1 :
Le nombre $x$ figurant dans une égalité s’appelle l’inconnue.
Définition 2 :
Une égalité qui contient des inconnues est appelée équation.
Exemple 1 :
$3x+1=7$ est une équation d'inconnue $x$. $7y-5=y+1$ est une équation d'inconnue $y$. $2a+3b=1$ est une équation à deux inconnues : $a$ et $b$.
Définition 3 :
On appelle solution d'une équation, une valeur qui rend l'égalité vraie.
Exemple 2 :
L'équation $1+x=2$ est vraie pour $x=1$. On dit alors que : $1$ est solution de l'équation.
Exemple 3 :
Si $x=1$ , l'équation $1+x=4$ n'est pas vraie (pas vérifiée). On dit alors que : $1$ n'est pas solution de l'équation.
Définition 4 :
Résoudre une équation, c'est trouver toutes les solutions de l'équation.
Définition 5 :
Une égalité est constituée de deux expressions littérales appelées membre séparées par un signe « = »
Exemple 4 :
Soit l'équation $x+3=4x-2$ $x+3$ est le membre de gauche de cette équation. $4x-2$ est le membre de gauche de cette équation.
Pour tester si une valeur est solution d'une équation, on remplace séparément dans chaque membre la valeur à tester. Pour que la valeur soit solution, il faut que les deux membres donnent le même résultat.
Exemple 1 :
Le nombre $2$ est-il solution de l'équation $x+3=2x+1$ ? Pour $x=2$, on calcule séparément : $x+3=2+3=5\quad\quad$ et $\quad\quad 2x+1=2\times+1=4+1=5$ On a prouvé que pour $x=2$, on a : $x+3=2x+1$ Donc $2$ est solution de l'équation.
Exemple 2 :
Le nombre $2$ est-il solution de l'équation $2x+3=5x-1$ ? Pour $x=2$, on calcule séparément : $2x+3=2\times2+3=4+3=7\quad\quad$ et $\quad\quad 5x-1=5\times-1=10-1=9$ On a prouvé que pour $x=2$, on a : $x+3\neq 2x+1$ Donc $2$ n'est pas solution de l'équation.
On regroupe les inconnues du même côté pour se ramener à la situation précédente. $2x-3=4-2x$ $2x-3+2x=4-2x+2x$ $4x-3=4$ $4x=4+3$ $4x=7$ $x=\dfrac{7}{4}$ La solution de l’équation est : $\dfrac{7}{4}$
Dans le cas d’équation qui ne sont pas de ces formes, on développe et réduit les membres d’abord.
