Équations

I
Introduction et vocabulaire :
$\quad\bullet\quad 1+1=2$ est une égalité VRAIE.
$\quad\bullet\quad 1+1=3$ est une égalité FAUSSE.
$\quad\bullet\quad 1+?=2$ est une égalité "à trou" utilisée en primaire.
On l'utilise pour faire comprendre aux élèves qu'on cherche le nombre qui rend cette égalité vraie.
ici, ?=1.
Cette notation, d'égalité à trou, n'est pas rigoureuse.
Dorénavant, nous écrirons cette égalité ainsi : $1+x=2$
Définition 1 :
Le nombre $x$ figurant dans une égalité s’appelle l’inconnue.
Définition 2 :
Une égalité qui contient des inconnues est appelée équation.
Exemple 1 :
$3x+1=7$ est une équation d'inconnue $x$.
$7y-5=y+1$ est une équation d'inconnue $y$.
$2a+3b=1$ est une équation à deux inconnues : $a$ et $b$.
Définition 3 :
On appelle solution d'une équation, une valeur qui rend l'égalité vraie.
Exemple 2 :
L'équation $1+x=2$ est vraie pour $x=1$. On dit alors que : $1$ est solution de l'équation.
Exemple 3 :
Si $x=1$ , l'équation $1+x=4$ n'est pas vraie (pas vérifiée). On dit alors que : $1$ n'est pas solution de l'équation.
Définition 4 :
Résoudre une équation, c'est trouver toutes les solutions de l'équation.
Définition 5 :
Une égalité est constituée de deux expressions littérales appelées membre séparées par un signe « = »
Exemple 4 :
Soit l'équation $x+3=4x-2$
$x+3$ est le membre de gauche de cette équation.
$4x-2$ est le membre de gauche de cette équation.
II
Tester une égalité
Méthode :
Pour tester si une valeur est solution d'une équation,
on remplace séparément dans chaque membre la valeur à tester.
Pour que la valeur soit solution, il faut que les deux membres donnent le même résultat.
Exemple 1 :
Le nombre $2$ est-il solution de l'équation $x+3=2x+1$ ?
Pour $x=2$, on calcule séparément :
$x+3=2+3=5\quad\quad$ et $\quad\quad 2x+1=2\times+1=4+1=5$
On a prouvé que pour $x=2$, on a : $x+3=2x+1$
Donc $2$ est solution de l'équation.
Exemple 2 :
Le nombre $2$ est-il solution de l'équation $2x+3=5x-1$ ?
Pour $x=2$, on calcule séparément :
$2x+3=2\times2+3=4+3=7\quad\quad$ et $\quad\quad 5x-1=5\times-1=10-1=9$
On a prouvé que pour $x=2$, on a : $x+3\neq 2x+1$
Donc $2$ n'est pas solution de l'équation.
III
Égalité et opérations
Propriété 1 :
A partir d’une égalité, on obtient une égalité équivalente
si on ajoute ou on retranche un même nombre à chaque membre.
Exemple 1 :
On considère l’équation $x+8=3$
On peut soustraire le nombre 8 à chacun des membres.
$x+8=3$
$x+8 {-8}= 3 {- 8}$
$x=-5$
Exemple 2 :
On considère l’équation $y-6=9$
On peut ajouter le nombre 6 à chacun des membres.
$y-6=9$
$y-6 {+6}=9+6$
$y=15$
Propriété 2 :
A partir d’une égalité, on obtient une égalité équivalente
si on multiplie ou divise chaque membre par un même nombre (différent de zéro).
Exemple 3 :
On considère l’équation $7 x = 4$.
On divise par 7 chacun des deux membres :
$\dfrac{7x}{7} = \dfrac{4}{7}$
$x= \dfrac{4}{7}$
Exemple 4 :
On considère l’équation $\dfrac{t}{4}= 9$.
$\dfrac{1}{4} \times t=9$
$t=9 \times 4$
$t=36$
IV
Méthode de résolution
A
Équations de la forme $ax+b=c$
Exemple 1 :
Résoudre l’équation $3x+2=8$ :
$3x=8-2$
$3x=6$
$x=2$
La solution de l’équation est : $2$
B
Équations de la forme $ax+b=cx+d$
Exemple 1 :
Résoudre l’équation $2x-3=4-2x$
Méthode :
On regroupe les inconnues du même côté pour se ramener à la situation précédente.
$2x-3=4-2x$
$2x-3+2x=4-2x+2x$
$4x-3=4$
$4x=4+3$
$4x=7$
$x=\dfrac{7}{4}$
La solution de l’équation est : $\dfrac{7}{4}$
Dans le cas d’équation qui ne sont pas de ces formes, on développe et réduit les membres d’abord.