Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers naturels. $\bullet$ On dit que $b$ divise $a$ lorsqu'il existe un entier naturel $q$ tel que $a=b\times q$. $\bullet$ On dit encore que $b$ est un diviseur de $a$ ou que $a$ est un multiple de $b$.
Exemple 1 :
$\bullet$ On dit que $3$ divise $15$ car il existe un entier naturel 5 tel que $15=\textbf{5}\times 3$. $\bullet$ On dit encore que $3$ est un diviseur de $15$ ou que $15$ est un multiple de $3$.
Propriété 1 :
Pour $b\neq 0$, $b$ est un diviseur de $a$ si et seulement si $a$ est un multiple de $b$.
Propriété 2 :
La somme de deux multiples d'un même entier relatif $a$ est aussi un multiple de $a$
Démonstration Fondamentale : Démonstration pour deux multiples de 11 : Soit $a$ et $b$ deux multiples de 11. D'après la définition de cours, il existe deux entiers $k_1$ et $k_2$ tels que : $a = 11 \times k_1$ et $b=11 \times k_2$. On a donc : $a+b=11 k_1 + 11 k_2 = 11(k_1+k_2)$ $k_1$ et $k_2$ étant des entiers, $(k_1+k_2)$ est aussi un entier. Appelons $q=k_1+k_2$, on a montré que $a+b=11 \times q$. D'après la définition de cours, $a+b$ est donc un multiple de 11.
Un entier naturel $p\geqslant 2$ est un nombre premier lorsque ses seuls diviseurs sont $1$ et $p$.
Remarque 1 :
$\bullet$ Le nombre 1 n'est pas considéré comme un nombre premier. $\bullet$ Les nombres premiers inférieurs à 20 sont :$\{2;3;5;7;11;13;17;19\}$}
Propriété 1 :
(admise) : Décomposition en facteurs de nombres premiers : Tout nombre entier peut s'écrire de façon unique comme un produit de facteurs de nombres premiers.
Application : Comme : $1320=2^{3}\times3\times 5 \times 11$ et $9900=2^{2}\times 3^{2}\times 5^{2}\times 11$ On a alors : $\dfrac{1320}{9900}=\dfrac{2^{3}\times3\times 5 \times 11}{2^{2}\times 3^{2}\times 5^{2}\times 11} =\dfrac{2}{3 \times 5}=\dfrac{2}{15}$ Complément : Crible d'Eratosthène On désigne sous le nom de crible d'Eratosthène (vers 276 av.J.-C - vers 194 av.J.-C), une méthode de recherche des nombres premiers plus petits qu'un entier naturel $n$ donné.
Méthode :
Par exemple, cherchons tous les nombres premiers inférieurs à 120. Pour ceci, on écrit la liste de tous les nombres jusqu'à 120. $\quad\bullet$ On sait que $2$ est un nombre premier, on l'entoure. $\phantom{\quad\bullet}$ On peut rayer (en bleu dans l'animation) tous les multiples de $2$ dans le tableau, ils ne peuvent pas être premiers. $\quad\bullet$ On sait que $3$ est un nombre premier, on l'entoure. $\phantom{\quad\bullet}$On peut rayer tous les multiples de $3$ (en vert dans l'animation) dans le tableau, ils ne peuvent pas être premiers. $\quad\bullet$ On cherche le premier entier non encore entouré ou rayé. C'est $5$. Il est premier. On l'entoure. $\phantom{\quad\bullet}$On peut rayer tous les multiples de $5$ (en rouge dans l'animation) dans le tableau, ils ne peuvent pas être premiers. $\quad\bullet$ On procède ainsi avec les multiples de 7, ....
Déterminer les nombres premiers inférieurs à 120 :
On appelle nombre pair, tout entier multiple de 2 et nombre impair tout entier qui n'est pas pair.
Conséquence : $\bullet$ Si $p$ est un nombre pair alors il existe un entier $n$ tel que $p=2 \times n$ $\bullet$ Si $p$ est un nombre impair alors il existe un entier $n$ tel que $p=2 \times n+1$
Propriété 1 :
Le carré d'un nombre impair est un nombre impair
Démonstration Fondamentale : Soit $k$ un nombre impair. On sait d'après la définition qu'il existe un entier $n$ tel que : $k=2 \times n +1$ On a alors : $k^{2} = (2n+1)^{2}=4n^{2}+4n+1=2(2n^{2}+2n)+1$ Soit $p=2n^{2}+2n$. $p$ est clairement un entier. On a montré qu'il existe un entier $p$ tel que : $k^{2}=2p+1$ Ce qui est la caractéristique d'un nombre impair.
