Définition 1 :
Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers naturels.
$\bullet$ On dit que $b$
divise $a$ lorsqu'il existe un entier naturel $q$ tel que $a=b\times q$.
$\bullet$ On dit encore que $b$ est un
diviseur de $a$ ou que $a$ est un
multiple de $b$.)
Exemple 1 :
$\bullet$ On dit que $3$
divise $15$ car il existe un entier naturel
5 tel que $15=\textbf{5}\times 3$.
$\bullet$ On dit encore que $3$ est un
diviseur de $15$ ou que $15$ est un
multiple de $3$.)
Propriété 1 :
Pour $b\neq 0$, $b$ est un
diviseur de $a$ si et seulement si $a$ est un
multiple de $b$.
Propriété 2 :
La somme de deux multiples d'un même entier relatif $a$ est aussi un multiple de $a$
Démonstration pour deux multiples de 11 :
Soit $a$ et $b$ deux multiples de 11.
D'après la définition de cours, il existe deux entiers $k_1$ et $k_2$ tels que :
$a = 11 \times k_1$ et $b=11 \times k_2$.
On a donc : $a+b=11 k_1 + 11 k_2 = 11(k_1+k_2)$
$k_1$ et $k_2$ étant des entiers, $(k_1+k_2)$ est aussi un entier.
Appelons $q=k_1+k_2$, on a montré que $a+b=11 \times q$.
D'après la définition de cours, $a+b$ est donc un multiple de 11.
Définition 1 :
Un entier naturel $p\geqslant 2$ est un
nombre premier lorsque ses seuls diviseurs sont $1$ et $p$.
Remarque 1 :
$\bullet$ Le nombre 1 n'est pas considéré comme un nombre premier.
$\bullet$ Les nombres premiers inférieurs à 20 sont :$\{2;3;5;7;11;13;17;19\}$}
Propriété 1 :
(admise) :
Décomposition en facteurs de nombres premiers :Tout nombre entier peut s'écrire de façon unique comme un produit de facteurs de nombres premiers.
Comme : $1320=2^{3}\times3\times 5 \times 11$ et $9900=2^{2}\times 3^{2}\times 5^{2}\times 11$
On a alors : $\dfrac{1320}{9900}=\dfrac{2^{3}\times3\times 5 \times 11}{2^{2}\times 3^{2}\times 5^{2}\times 11} =\dfrac{2}{3 \times 5}=\dfrac{2}{15}$
III
Nombres pairs et impairs
Définition 1 :
On appelle
nombre pair, tout entier multiple de 2 et
nombre impair tout entier qui n'est pas pair.
$\bullet$ Si $p$ est un nombre pair alors il existe un entier $n$ tel que $p=2 \times n$
$\bullet$ Si $p$ est un nombre impair alors il existe un entier $n$ tel que $p=2 \times n+1$
Propriété 1 :
Le carré d'un nombre impair est un nombre impair
Soit $k$ un nombre impair.
On sait d'après la définition qu'il existe un entier $n$ tel que : $k=2 \times n +1$
On a alors : $k^{2} = (2n+1)^{2}=4n^{2}+4n+1=2(2n^{2}+2n)+1$
Soit $p=2n^{2}+2n$. $p$ est clairement un entier.
On a montré qu'il existe un entier $p$ tel que : $k^{2}=2p+1$
Ce qui est la caractéristique d'un nombre impair.
