Racines carrées

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I
Introduction



Introduction
$\bullet \quad$ 1ère situation :
On considère ce carré d'aire $9~cm^{2}$

On cherche à déterminer la mesure $c$ de son côté.
On doit résoudre : $c^{2}=9$
Comme $c$ est une longueur, $c>0$.
La solution est dont le nombre positif dont le carré vaut 9.
Intuitivement, on trouve 3, qui est le seul nombre positif vérifiant
$c^{2}=9$ et $c>0$
$\iff c=3$
$\begin{array}{l}& \\
\end{array}$
$\bullet \quad$ 2ème situation :
On considère ce carré d'aire $2~cm^{2}$

On cherche à déterminer la mesure $c$ de son côté.
On doit résoudre : $c^{2}=2$
Comme $c$ est une longueur, $c>0$.
La solution est dont le nombre positif dont le carré vaut 2.
On ne peut trouver intuitivement la solution de $c^{2}=2$
On a : $1\leq c^{2}\leq 4 \iff 1^{2} \leq c^{2} \leq 2^{2} \iff 1 \leq c \leq 2$
Mais intuitivement, on ne trouve pas facilement de solution.
A la calculatrice, avec un algorithme, on pourrait affiner la valeur de $c$.
On démontrer que le nombre positif $c$ vérifiant $c^{2}=2$ est un irrationnel.
Pour l'écrire, la notation décimale et fractionnaire ne convient pas.
Il faut inventer une notation pour écrire ce nombre : $\sqrt 2$.
$\sqrt 2$ est donc le nombre positif dont la carré vaut 2.
Pour s'évaluer :
Accès sans indentifiants
$\quad$ Accès avec indentifiants

II
Définition :



Définition 1 :
La racine carrée d'un réel positif $x$ est le nombre positif noté $\sqrt{x}$ dont le carré est égal à $x$.
Propriété 1 :
Si $x$ est un réel positif alors $\sqrt{x}~^{2}=x$
Propriété 2 :
Pour tout réel positif $x$, $\sqrt{x^{2}}=x$ et $\sqrt{x}\geqslant0$
Remarques :
$\quad\bullet\quad$ D'après la définition, on ne peut pas caculer la racine carrée d'un nombre négatif.
$\quad\bullet\quad$ Les nombres dont la racine carrée est un entier sont les carrés parfaits
Il est utile de connaître les premiers :
$2^{2}=4 \quad \text{donc} \quad\sqrt{4}=2$.
$3^{2}=9\quad \text{donc} \quad \sqrt{9}=3$.
$4^{2}=16 \quad \text{donc} \quad \sqrt{16}=4$.
$5^{2}=25 \quad \text{donc}\quad \sqrt{25}=5$.
$6^{2}=36 \quad \text{donc} \sqrt{36}=6$.
$7^{2}=49\quad \text{donc}\sqrt{49}=7$.
$8^{2}={64}\quad \text{donc}\sqrt{64}=8$.
$9^{2}={81}\quad \text{donc}\sqrt{81}=9$.
$10^{2}={100}\quad \text{donc}\sqrt{100}=10$.
$11^{2}={121}\quad \text{donc}\sqrt{121}=11$.
$12^{2}={144}\quad \text{donc}\sqrt{144}=12$.
$13^{2}={169}\quad \text{donc}\sqrt{169}=13$.
$14^{2}={196}\quad \text{donc}\sqrt{196}=14$.
$15^{2}={225}\quad \text{donc}\sqrt{225}=15$.
$16^{2}={256}\quad \text{donc}\sqrt{256}=16$.
On retient que les premiers carrés parfaits sont donc : $\{4;16;25;36;49;64;81;100;121;144;169;196;256\}$
En général on ne peut écrire que des valeurs approchées des racines carrées sous forme décimale.
Ainsi : $\sqrt{2}\approx 1,414$ et $\sqrt{3}\approx1,732$
Dans le chapitre sur les ensembles de nombres, on a par exemple prouvé que $\sqrt 2\notin \mathbb Q$ : La démonstration
Pour s'évaluer :
Accès sans indentifiants
$\quad$ Accès avec indentifiants

Pour s'entraîner :


III
Propriétés calculatoires des produits et quotients de racines carrées :



Propriété 1 :
Racine carrée et produits : Soit $a \geqslant0$ et $b\geqslant 0$, on a $$\sqrt{a \times b}=\sqrt{a} \times \sqrt{b}$$
Démonstration Fondamentale :



On a d'après la propriété de cours : $\sqrt{a \times b}\geqslant0$ et $\sqrt{a} \times \sqrt{b}\geqslant0$
On va utiliser la propriété suivante, (démontrée dans le cours sur la fonction carré)
Si $a \geqslant0$ et $b\geqslant 0$, alors
$a^{2}=b^{2} \iff a=b$ ($P_2$)
Si on prouve que $\sqrt{a \times b}~^{2}=\left(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\right)^{2}$
on aura montré $\sqrt{a \times b}=\sqrt{a} \times \sqrt{b}$
Or, d'après la définition d'une racine carrée, $\sqrt{a \times b}~^{2}=a \times b$
D'autre part, $\left(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\right)^{2}=\sqrt{a}~^{2} \times \sqrt{b}~^{2} = a \times b$
On vient donc e montrer que $\sqrt{a \times b}~^{2}=a\times b = \left(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\right)^{2}$
Avec la propriété ($P_2$), on en déduit que :
$\sqrt{a \times b}=\sqrt{a} \times \sqrt{b}$
Propriété 2 :
Racine carrée et quotients : Soit $a \geqslant0$ et $b> 0$, on a
$$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a} }{\sqrt{b}} $$
Démonstration : Identique à celle du produit.
Application :
$\sqrt{12}\times \sqrt{3}=\sqrt{12 \times 3}=\sqrt{36}=6$ et $\dfrac{\sqrt{125}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\dfrac{125}{5}}=\sqrt{25}=5$
Pour s'évaluer :
Accès sans indentifiants
$\quad$ Accès avec indentifiants

Pour s'entraîner :


IV
Propriétés calculatoires de sommes de racines carrées



A
Racine carrée et sommes :
Propriété 1 :
Soit $a \geqslant0$ et $b\geqslant 0$, on a
$$\sqrt{a + b}\leqslant\sqrt{a} + \sqrt{b}$$
Démonstration :
L'idée est d'utiliser encore la propriété ($P_2$):
Soit $a \geqslant0$ et $b\geqslant 0$,
on a d'après la définition de la racine carrée : $\left(\sqrt{a + b}\right)^{2}=a+b$
D'autre part, $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^{2}=\left(\sqrt{a}\right)^{2} +2\times \sqrt{a}\times \sqrt{b}+\left(\sqrt{b}\right)^{2}=a+2\times \sqrt{a}\times \sqrt{b}+b$
Comme $a+2\times \sqrt{a}\times \sqrt{b}+b\geqslant a+b$,
on a montré que :$\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^{2}\geqslant \left(\sqrt{a + b}\right)^{2}$
Or, d'après la propriété ($P_2$):
$\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^{2}\geqslant \left(\sqrt{a + b}\right)^{2} \iff \sqrt{a} + \sqrt{b}\geqslant \sqrt{a + b}$
Exemple 1 :
$\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ et $\sqrt{9} +\sqrt{16}=3+4=7$
On a bien : $\sqrt{9+16}\leqslant\sqrt{9} +\sqrt{16}$
Pour s'évaluer :
Accès sans indentifiants
$\quad$ Accès avec indentifiants

B
Mettre une racine carrée sous la forme $a\sqrt{b}$ :
Méthode :
Réduction d'une racine carrée :
Pour réduire une racine carrée, il faut déterminer le plus grand grand carré parfait
diviseur du nombre placé sous le symbole radical puis utiliser la propriété des produits.
Exemple 1 :
$\sqrt{72}=\sqrt{36\times 2}=\sqrt{36}\times \sqrt{2}=6\sqrt{2}$
Application :
Simplifier l'écriture de :$\sqrt{72}=\sqrt{36\times 2}=\sqrt{36}\times \sqrt{2}=6\sqrt{2}$
Pour s'évaluer :
Accès sans indentifiants
$\quad$ Accès avec indentifiants

Pour s'entraîner :



C
Simplifier des sommes de racines carrées



Application 1 :
Simplifier l'écriture de : $\begin{align*}\sqrt{7}+3\sqrt{7}-4&=(3+1)\sqrt{7}-4\\
&=4\sqrt{7}-4
\end{align*}$
Application 2 :
Simplifier l'écriture de :
\begin{align*}
\sqrt{7}+3\sqrt {28}-4\sqrt{343}&=\sqrt{7}+3\sqrt{4\times 7}-4\sqrt{49\times 7}\\
&=\sqrt{7}+3\times \sqrt{4} \times \sqrt{7} -4\sqrt{49}\times \sqrt{7}\\
&=\sqrt{7}+3\times 2 \times \sqrt{7} -4\times 7\times \sqrt{7}\\
&=\sqrt{7}+6 \sqrt{7} -28 \sqrt{7}\\
&=-21\sqrt{7}
\end{align*}
Pour s'évaluer :
Accès sans indentifiants
$\quad$ Accès avec indentifiants

Pour s'entraîner :


D
Effectuer des calculs avec les racines carrées :
Pour s'entraîner :


Pour s'entraîner :


V
Rendre un dénominateur entier



Principe :
Les nombres irrationnels n'ayant ni écriture décimale, ni fractionnaire,
par commodité de calcul pour la division, on essaie de donner toujours
un résultat en écriture fractionnaire avec un dénominateur entier.
Exemple 1 :
$\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ est acceptable puisque 3 est un entier, alors que
$\dfrac{3}{\sqrt{2}}$ ne l'est pas puisque le $\sqrt{2}$ n'est pas un entier.
Application :
Rendre entier le dénominateur de : $\dfrac{3}{\sqrt{3}}$
$\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\dfrac{3\times \sqrt{3}}{(\sqrt{3})^{2}}=\dfrac{3\times \sqrt{3}} {3}=\sqrt{3}$
Pour s'évaluer :
Accès sans indentifiants
$\quad$ Accès avec indentifiants

Application approfondissements:
Rendre entier le dénominateur de :$\dfrac{3}{1+\sqrt{3}}$



\begin{align*}
\dfrac{3}{1+\sqrt{3}}&=\dfrac{3\times (1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}\\
&=\dfrac{3\times (1-\sqrt{3})}{1^{2}-\sqrt{3}^{2}}\\
&=\dfrac{3\times (1-\sqrt{3})}{-2}\\
&=\dfrac{3}{2}\times (\sqrt{3}-1)
\end{align*}
On dit que $1-\sqrt{3}$ est la quantité conjuguée de $1+\sqrt{3}$

VI
Préparer l'évaluation :
A
Définition d'une racine carrée :
Exercice 1 :
Simplifier l'écriture de : $A=\sqrt {13^{2}}~~B=\sqrt(-7)^{2}~~C=\sqrt{121}~~D=\sqrt{\dfrac{4}{9}}$
$E=(2\sqrt {7})^{2}~~~F=\sqrt(9)+3~~~G=\sqrt{(3-7)^{2}}$
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Exercice 2 :
Dire si les nombres suivants existent, et si oui, simplifier leur expression :
$\sqrt {2^{3}}~~~(2\sqrt3)^{2}~~~\sqrt{(-2)^{2}}~~~(\sqrt{-2})^{2}$
Peut-on dire $\sqrt2=1,4142~~ou~~\sqrt2=1,41421356237$
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Exercice 3 :
Simplifier, s'ils existent, les nombres suivants :
$\sqrt{(-2)^{2}}~~;~~\sqrt{-4^{2}}~~;~~-\sqrt{4^{2}}~~;~~\left(\sqrt{-4}\right)^{2} $
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Exercice 4 :
Simplifier, s'ils existent, les nombres suivants :
$\left(\sqrt{4}\right)^{2}~~;~~\left(\sqrt{7}\right)^{2}~~;~~\sqrt{7}~^{2}$ 
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Exercice 5 :
Simplifier, s'ils existent, les nombres suivants :
$\sqrt{(-3)^{2}}~~;~~\sqrt{-3^{2}}~~;~~\left(-\sqrt{3}\right)~^{2}~~;~~\sqrt \pi ~~;~~\sqrt{\pi - 4}$ 
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B
Propriétés des racines carrées :
Exercice 6 :
Simplifier l'écriture de : $B=\dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt {27}}~~, ~~C=\sqrt{25+144}~~ et ~~D=3\sqrt{15} \times 2 \sqrt {20}$
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Exercice 7 :
Simplifier l'écriture de : $A=\sqrt{3}\times \sqrt {12}~~B=\sqrt{5}\times\sqrt {45}~~, ~~C=\dfrac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}~~ et ~~D=4\sqrt{75} \times  \sqrt {3}$
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C
Simplifier une racine carrée :
Exercice 8 :
$A=\sqrt{125}~~~B=4\sqrt{80}~~~ et~~ C=-2\sqrt{98}$ 
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D
Somme de racines carrées :
Exercice 9 :
$B=3\sqrt5+5\sqrt2-7\sqrt5-2\sqrt2$
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E
Écrire sous la forme $a \sqrt b$ :
Exercice 10 :
$A=4\sqrt{18}-2 \sqrt2$
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Exercice 11 :
$A=7\sqrt{24}+10\sqrt{54}-2\sqrt{150}$ 
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Exercice 12 :
$B=\sqrt{12}+2\sqrt{75}-2\sqrt{300}$ 
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Exercice 13 :
$B=\sqrt{75}+4\sqrt{27}-5\sqrt{48}$ 
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F
Distributivité avec les racines carrées :
Exercice 14 :
Simplifier l'écriture de : $-\sqrt{5}(4-\sqrt 5)$ puis de $ (\sqrt 6 +1)(5-2\sqrt6)$ 
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Exercice 15 :
Simplifier l'écriture de : $\sqrt{2}(2-3\sqrt 2)$  
Correction en vidéo
Exercice 16 :
Simplifier l'écriture de : $(3\sqrt{2}+5)(\sqrt 2-3)$ 
Correction en vidéo
Exercice 17 :
Simplifier l'écriture de : $(4+5\sqrt{2})(2-3\sqrt 2)$ 
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Exercice 18 :
Simplifier l'écriture de : $(5+\sqrt 2)^{2}~~;~~(3-2\sqrt 5)^{2}~~;~~(2-\sqrt 3)(2+\sqrt 3)$  Correction
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D
Rendre entier un dénominateur :
Exercice 19 :
$\dfrac{2}{\sqrt3}~~ et ~~\dfrac{8}{3\sqrt2}$
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