Comparer, ranger, encadrer des nombres rationnels.
Repérer et placer un nombre rationnel sur une droite graduée.
Ordre sur les nombres rationnels en écriture décimale ou fractionnaire.
Égalité de fractions.
Utiliser diverses représentations d’un même nombre (écriture décimale ou fractionnaire, notation scientifique, repérage sur une droite graduée) ; passer d’une représentation à une autre.
Soit deux nombres $n$ et $d$ ($ d \ne 0$). Le quotient de $n$ par $d$ est le nombre qui multiplié par $d$, donne $n$. On peut l’écrire en écriture fractionnaire : $\dfrac{n}{d }$ .
Exemple 1 :
Soit deux nombres 5 et 7 . Le quotient de 5 par 7 est le nombre qui multiplié par 7, donne 5. On peut l’écrire en écriture fractionnaire : $\dfrac{5}{7 }$ On vérifie que $7 \times \dfrac{5}{7 } =5$
Définition 2 :
n est appelé le numérateur et d le dénominateur. $\dfrac{n}{d }$ est aussi le résultat de la division de $n$ par $d$. $n \div d = \dfrac{n}{d }$
Exemple 2 :
$\quad\bullet$ Dans la fraction $\dfrac{6}{5}$ : 5 est le numétareur et 6 et le dénominateur. $\quad\bullet$ Le résultat de la division de $8$ par $9$, c'est à dire le quotient de 8 par 9 est $\dfrac{8}{9}$.
Définition 3 :
Une fraction est une écriture fractionnaire dont le numérateur et le dénominateur sont entiers.
Un quotient ne change pas quand on multiplie (ou divise) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul. $\dfrac{a}{b}= \dfrac{a \times k} {b \times k}= \dfrac{a \div d} {b \div d}$
Exemple 1 :
$\quad \bullet\dfrac {5}{7} =\dfrac{5 \times 8} {7 \times 8 } = \dfrac{40 }{56} \quad\quad\quad \bullet\dfrac{110}{30} = \dfrac{110 \div 10 } {30 \div 10} = \dfrac{11}{3}$ On dit que la fraction a été simplifiée.
Propriété 2 :
Pour trouver par quoi on peut diviser le numérateur et dénominateur de la fraction, on peut utiliser les critères de divisibilité :
Les différentes manières de comparer des fractions :
Propriété 1 :
Pour comparer des fractions, on peut : Les réduire au même dénominateur et comparer les numérateurs (le sens de l’inégalité sera identique pour les fractions)
Exemple 1 :
Comparer $\dfrac{6}{4}$ et $\dfrac{14} {12}$ : On réduit au même dénominateur : $ \dfrac{6}{4} =\dfrac {6 \times 3} {4 \times 3} =\dfrac{ 18}{12}$ On compare donc $\dfrac{18}{12}$ et $\dfrac{14}{12}$ or $18>14$ donc $\dfrac{18}{12}>\dfrac{14}{12}$ et $\dfrac{6}{4}>\dfrac{14} {12}$
S'entraîner seul :
S'entraîner seul :
Propriété 2 :
Pour comparer des fractions, on peut : Les réduire au même numérateur et comparer les dénominateurs (le sens de l’inégalité sera l’inverse de celui des fractions).
Exemple 2 :
Comparer $\dfrac{8}{12}$ et $\dfrac{16}{20}$ : $ \dfrac{8}{12} = \dfrac{8 \times 2}{12 \times 2}= \dfrac{16 }{24}$, on compare donc $\dfrac{16 }{24}$ et $\dfrac{16}{20}$ or $24>20$ donc $\dfrac{16 }{24}< \dfrac{16}{20}$ et $\dfrac{8}{12} <\dfrac{16}{20}$ . Attention, l'ordre des fractions est l'inverse de celui des dénominateurs. A numérateur égal, plus le dénominateur est grand, plus la fration est petite.
Propriété 3 :
Pour comparer des fractions, on peut Comparer leurs écritures décimales.
Exemple 3 :
Comparer $\dfrac{5}{2}$ et $\dfrac{7}{4}$ : $\dfrac{5}{2} = 5 \div 2={2,5}\quad$ et $\quad\dfrac{7}{4} =7 \div 4=1,75$ donc comme ${2,5}>{1,75}\quad$ alors $\quad\dfrac{5}{2} >\dfrac{7}{4}$ Attention, pour utiliser cette méthode, il faut que le quotient existe, que la fraction soit un nombre décimal.
Pour comparer deux fractions : 1. On regarde leur signe. Si elles ne sont pas du même signe, la positive est la plus grande. Exemple : $-\dfrac{32}{21}<\dfrac{2}{7}$ Si elles sont toutes les deux positives : 2. On les compare à l'unité. Exemple :$\dfrac{987}{654}>\dfrac{543}{876}$ car $\dfrac{987}{654}>1$ et $\dfrac{543}{876}<1$ 3. On regarde les numérateurs : Si elles ont le même numérateur, on les classe dans l'ordre inverse de leur dénominateur. Exemple : $\dfrac{3}{11}>\dfrac{3}{17}$ 4. Si on compare une fraction et un décimal : On peut transformer l'écriture d'une des deux ractions : Exemple : $\dfrac{3}{4}>0,7$ car $\dfrac{3}{4}=0,75$ 5. On compare les dénominateurs : Si elles ont le même dénominateur, on les classe dans l'ordre de leur numérateur. Exemple : $\dfrac{17}{11}>\dfrac{143}{11}$ 6. Cas général : On peut met les deux fractions au même dénominateur et on compare les numérateurs : Exemple : $\dfrac{17}{5}>\dfrac{31}{10}$ car $\dfrac{17}{5}=\dfrac{34}{10}>\dfrac{31}{10}$
IV
Égalité des produits en croix
Propriété 1 :
Deux fractions sont égales si et seulement si leurs produits en croix sont égaux. On a : $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ si et seulement si $a \times d = b \times c$.
Méthode :
On peut utiliser le produit en croix pour déterminer si deux fractions sont égales.
Exemple 1 :
Regardons si $\dfrac{7}{8}$ et $\dfrac{35}{40}$ sont égales. Les produits en croix sont : $7 \times 40$ et $8 \times 35$ $7 \times 40 = 280$ et $8 \times 35 = 280$ . Donc $\dfrac{7}{8} = \dfrac{35}{40}$
Méthode :
On peut utiliser le produit en croix pour compléter deux fractions égales.
Exemple 2 :
Déterminer le nombre $a$ tel que: $\dfrac{23}{15}=\dfrac{207}{a}$ On sait que les fractions sont égales donc ${23 \times a }={15 \times 207}$ . ${23 \times a }={15 \times 207}$ D’où ${23 \times a }={3105}$ $a$ est le nombre qui multiplié par 23 donne 3105, donc $a = \dfrac{3105}{23} = 135$
A un rang donné : - La troncature d’un nombre est sa valeur approchée par défaut. - L’arrondi d’un nombre est, de sa valeur approchée par défaut ou par excès, celle qui est la plus proche.
Exemple 1 :
Nous allons procéder aux encadrements de $\dfrac{23}{7}$ et $\dfrac{23}{7} \approx 3,285714286$
Rang
Encadrement par les valeurs approchéespar défaut et par excès
