Lois de probabilités discrètes

I
Loi uniforme discrète :
Définition 1 :
La variable $X$ dont les valeurs possibles sont $\{1; 2;\dots :n\}$ suit la loi uniforme discrète sur $\{1; 2;\dots :n\}$
si la probabilité $p_i = P(X=i)$ est égale à $\dfrac{1}{n}$ quel que soit $i$.
Exemple 1 :
On lance un dé à 6 faces non-pipé. On appelle $X$ la variable aléatoire qui prend la valeur de la face du dessus.
On a $X\in\{1;2;3;4;5;6\}$.
Il y a 6 valeurs possibles pour $X$.
On a pour tout $i\in \{1;2;3;4;5;6\}$, $p(X=i)=\dfrac{1}{6}$, car nous sommes dans une situation d'équiprobabilité.
On dit que $X$ suit la loi unfiforme discrète sur $\{1;2;3;4;5;6\}$
Propriété 1 :
Soit $X$ suit la loi unfiforme discrète $\{1; 2;\dots :n\}$.
L'espérance mathématiques de $X$ est : $E(X)=\dfrac{n+1}{2}$.
Démonstration :
Soit $X$ suit la loi unfiforme discrète $\{1; 2;\dots :n\}$.
$P(X=i)=\dfrac{1}{n}$ quel que soit $i$.
$E(X)=1\times \dfrac{1}{n} + 2\times \dfrac{1}{n}+ \dots +n\times \dfrac{1}{n}$
en factorisant par $\dfrac{1}{n}$, on obtient : $E(X)=\dfrac{1}{n} (1+2+\dots +n)$
Or on sait (somme des $n$ premier termes d'une suite arithmétique de raison $1$ et de premier terme $1$, que :
$1+2+\dots +n=\dfrac{n(n+1)}{2}$
d'où $E(X)=\dfrac{1}{n}\times \dfrac{n(n+1)}{2}$
Finalement : d'où $E(X)=\dfrac{n+1}{2}$
Exemple 2 :
L'Espérance est à rapprocher à l'idée de moyenne, pour un très grand nombre de tirages.
Si on reprend l'exemple du lancé de dé, avec un grand nomre de tirages, on obtiendra une moyenne de résultat proche de $\dfrac{6+1}{2}=3,5$.
On a :$E(X)=\dfrac{6+1}{2}=3,5$
II
Loi Binomiale :
A
Épreuve de Bernoulli (vidéo 1)


Définition 1 :
On appelle épreuve de Bernoulli une expérience aléatoire n’ayant que 2 issues possibles :
$\quad\bullet\quad$ une appelée “succès” et notée souvent $S$
$\quad\bullet\quad$ une appelée “échec” et souvent notée $\overline S$ .
Définition 2 :
Pour une épreuve de Bernoulli, on note $p$ la probabilité de succès.
On note donc $p(S)=p$ et $p(\overline S)=1-p$
Exemple 1 :
Avec un dé :
On lance un dé non truqué à six faces et on note $S$ l’événement “Obtenir un 6”.
L’événement $\overline S$ est alors “Ne pas obtenir un six ”.
C’est une épreuve de Bernoulli, où $p=p(S)=\dfrac{1}{6}$ et $1 - p=p(S)=\dfrac{5}{6}$.
On peut réaliser un arbre à deux branches pour la symboliser :


Exemple 2 :
Avec une urne
Dans une urne, on place 4 boules rouges et 6 boules noires.
On gagne quand on obtient une boule rouge. C’est une épreuve de Bernoulli, où la probabilité du succès est $p=0,4$
B
Loi de Bernoulli (vidéo 2)


Définition 1 :
Une loi de Bernoulli est une loi de probabilité qui suit le schéma suivant :
• La probabilité d'obtenir 1 est égale à $p$
• La probabilité d'obtenir 0 est égale à $1-p$
La variable aléatoire $X$ comptabilise le nombre de succès.
Exemple 1 :
Soit la variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre 0,6.
Cela signifie que l'expérience aléatoire ne possède que deux issues, avec une probabilité de 0,6 pour celle considérée comme succès.


Propriété 1 :
Espérance d'une loi de Bernoulli :
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli alors $E(X)=p$.
Démonstration : :
La loi de probabilité de est
$E(X) = 1 \times p + 0 \times (1 - p) = p$
C
Schéma de Bernoulli (vidéo 3)


Définition 1 :
On appelle schéma de Bernoulli la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes,
de probabilité de succès $p$ pour chacune d’entre elles.
Le nombre entier $n$ et le nombre réel $p$ sont les paramètres du schéma de Bernoulli.
Exemple 1 :
Avec un dé
On lance un dé non truqué à six faces trois fois de suite et on note $S$ l’événement “Obtenir un 6”.
Puisque les trois lancers sont identiques et indépendants, c’est un schéma de Bernoulli, de paramètres $n=3$ et $p=\dfrac{1}{6}$.

La probabilité de n’obtenir aucun SIX au cours des trois lancers vaut $p=\dfrac{5}{6}\times \dfrac{5}{6} \times \dfrac{5}{6}$ soit environ 58 %.

D
Arbre pondéré et variable aléatoire dans un schéma de Bernoulli (vidéo 4)


Méthode :
Si le paramètre $n$ (nombre d’expériences) est faible (inférieur à 4), on peut dresser un arbre pondéré pour représenter la situation.
Exemple 1 :

Une expérience consiste à tirer au hasard 3 fois de suite une boule en la remettant à chaque fois dans l’urne. La probabilité d’obtenir une boule gagnante est de 0,3 à chaque tirage.
On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre succès.
L’expérience est un schéma de Bernoulli, avec une probabilité de succès de 0,3 renouvelée 3 fois.

$p(X=3)=0,3 \times 0,3 \times 0,3 = 0,027$
$ p(X=2)=0,3 \times 0,3 \times 0,7 + 0,3 \times 0,7 \times 0,3+0,7 \times 0,3 \times 0,3= 0,189$
$ p(X=1)=0,3 \times 0,7 \times 0,7 + 0,7 \times 0,7 \times 0,3+0,7 \times 0,3 \times 0,7= 0,441$
$p(X=0)=0,7 \times 0,7 \times 0,7 = 0,343$
On dit que $X$ suit une loi Binomiale de paramètres $n=3$ et $p=0,3$

E
Coefficient binomial :
Définition 1 :
On réalise une expérience suivant une loi de Bernoulli, de paramètre $n$ et $p$.
Soi un entier naturel $k$ correspondant au nombre de succès.
On appelle coefficient binomial le nombre de chemin conduisant à succès parmi épreuves sur l'arbre représentant l'expérience.
On le note

Exemple 1 :

En reprenant l'exemple précédent :
On lit que

Propriété 1 :
Pour tout entier naturel $n$ :

Calculs des coefficients binomiaux par dénombrement :(vidéo 6)
On peut dénombrer « à la main » : On appelle S succès et E : échec, on dénombre toutes les possibilités :
Calculer C'est le nombre de possibilités d'avoir 1 succès parmi 4 essais :SEEE ESEE EESE EEES
C'est le nombre de possibilités d'avoir 4 succès parmi 4 essais : SSSS
C'est le nombre de possibilités d'avoir 2 succès parmi 4 essais : SSEE SESE SEES ESSE ESES EESS

Calculs des coefficients binomiaux à la calculatrice : (vidéo 7)
Voir tutoriel en ligne
Calculer les probabilités d'une loi binomiale  : (vidéo 8)
Propriété 2 :
On réalise une expérience suivant une loi de Bernoulli, de paramètres $n$ et $p$.
La loi Binomiale de paramètre $n$ et $p$ se définie par

Exemple 2 :
Une expérience consiste à tirer au hasard 8 fois de suite une boule en la remettant à chaque fois dans l’urne. La probabilité d’obtenir une boule gagnante est de 0,3 à chaque tirage.
Calculer la probabilité d'avoir 3 succès.
Correction : Les 8 expériences sont indépendantes et identiques, il s'agit donc d'un schéma de Bernoulli.
On définit $X$ la variable aléatoire qui comptabilise les succès, $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=8$ et $p=0,3$.


Calculer les probabilités d'une loi binomiale avec un tableur :(vidéo 10)
Saisir dans une cellule : =LOI.BINOMIALE(Nombre de succès,Nombre d’expériences, Probabilité succès, cumulatif ou non)
Exemple 3 :
$X$ suit donc une loi Binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,5$. Calculer la probabilité d’avoir 6 succès.
On cherche : $p(X=6)$:
On entre dans la cellule : « =LOI.BINOMIALE(6 ;10 ;0,5 ;FAUX) » et on obtient 0,2050781
On cherche $p(X\leq 6)$:
On entre dans la cellule : « =LOI.BINOMIALE(6 ;10 ;0,5 ;VRAI) » et on obtient 0,828125
F
Déterminer une loi Binomiale à la calculatrice (vidéo 11)
Exemple 1 :
$X$ suit donc une loi Binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,3$.
Déterminer la loi de probabilité de la variable $X$ consiste à déterminer les probabilités de chacune des valeurs de qui varie de 0 à $5$ :
$p(X=0)$ ; $p(X=1)$ ; …. ; $p(X=5)$ 
On détermine cette loi à la calculatrice : Avec la Casio, dans le Menu Statistique et on répond sous forme de tableau :

G
Espérance et variance d’une loi Binomiale (vidéo 12)
Définition 1 :
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètre $n$ et $p$.
Lorsqu’on réalise un grand nombre de fois le schéma de Bernoulli correspondant, la moyenne du nombre de succès se rapproche d’un nombre appelé l’espérance de $X$, noté $E(X)$.
 
Propriété 1 :
Soit une variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ . Alors :   $E(X)=np$      
Exemple 1 :
Pour déterminer à la calculatrice, l’espérance de $X$ sachant que $X$ est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètre $n=6$ et $p=0,2$.
Sur la casio : On établit d’abord la loi de probabilité de  $X$.
Puis, quand la calculatrice affiche la loi de probabilité sur deux listes, choisir Calc (F2), 1var (F1) et donne la moyenne ce qui dans notre cas représente l’espérance .
Propriété 2 :
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètre $n$ et $p$.
La variance de $X$, notée $V(X)$ vaut : $V(X)=np(1-p)$
H
Représentation graphique d’une loi Binomiale
Méthode :
On peut représenter graphiquement une loi binomiale par un diagramme en bâtons, en plaçant en abscisses les valeurs prises par la variable aléatoire et en ordonnée les probabilités correspondantes.
Lorsque $n$ est grand, la courbe forme une cloche, centrée autour de l'espérance de la variable aléatoire.(vidéo 13)
III
Loi géométrique discrète (ou loi dîte du premier succès)
Définition 1 :
On considère une épreuve de Bernoulli dont la probabilité d’un succès est égale à $p$.
On répète cette expérience jusqu’à obtenir le 1er succès.
Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre d’essais nécessaires jusqu’au premier succès.
On dit que 𝑋 suit la loi géométrique de paramètre $p$.
Interprétation :
L'idée de la loi géométrique, c'est que tant qu'on n'a pas gagné, on répète l'épreuve de Bernoulli.
Le seul paramètre est donc le paramètre de succès.
$p(X=k)$ permet donc de calculer la probabilité d'avoir le premier succès à la $k$ème tentative.
Exemple 1 :
$P(X=3)$ donne la probabilité d'avoir le premier succès à la 3ème tentative.
Soit $p$ la probabilité de succès, on a eu deux échecs avec une probabilité $(1-p)$ avant de connaître le succès de probabilité $p$.
$P(X=3)=(1-p)^2\times p$
Propriété 1 :
Soit $X$ la variable aléatoire qui suit la loi géométrique de paramètre $p$.
Pour tout entier naturel $k$ non nul, la loi de probabilité de $X$ est :
$$P(X=k)=(1-p)^{k-1}\times p$$
Pour avoir le premier succès à la $k$ème tentative, on a eu $k-1$ échecs consécutifs avant .
Propriété 2 :
Soit la variable aléatoire $X$ qui suit la loi géométrique de paramètre $p$.
On a : $E(X)=\dfrac{1}{p}$
Il faut rapprocher l'espérance d'une variable aléatoire à l'idée de moyenne.
Il faut en moyenne $\dfrac{1}{p}$ tentative pour obtenir un succès.
Exemple 2 :
On lance un dé à 6 faces, non truqué. Le jeu s'arrête quand on a obtenu un 6.
Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de lancers de dés nécessaires jusqu'à l'obtention d'un « $6$ ».
1) Calculer $P(X=3), P(X \leq 3)$ et $P(X \leq 8)$.
2) Calculer $E(X)$. Interpréter ce résultat.
Correction :
1) $\bullet$ On repète un épreuve de Bernoulli de paramètre $p=\dfrac{1}{6}$ jusqu'à obtenir un succès.
$X$ compte le nombre de lancers de dés nécessaires jusqu'à l'obtention du succès.
$X$ suit donc la loi géométrique de paramètre $\dfrac{1}{6}$.
$\bullet$ On sait que : $P(X=k)=(1-p)^{k-1}\times p$
ici, $k=3$ et $p=\dfrac{1}{6}$.
Donc $P(X=3)=\left(\dfrac{5}{6}\right)^{3-1}\times \dfrac{1}{6}= \dfrac{25}{36}\times \dfrac{1}{6}=\dfrac{25}{216} \approx 0,116$
$\begin{aligned}
\bullet P(X \leq 3) &=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) \\
&=\frac{1}{6} \times\left(\frac{5}{6}\right)^{1-1}+\frac{1}{6} \times\left(\frac{5}{6}\right)^{2-1}+\frac{1}{6} \times\left(\frac{5}{6}\right)^{3-1} \\
&=\frac{1}{6}+\frac{1}{6} \times \frac{5}{6}+\frac{25}{216} \\
&=\frac{1}{6}+\frac{5}{36}+\frac{25}{216} \\
&=\frac{36}{216}+\frac{30}{216}+\frac{25}{216}=\frac{91}{216} \approx 0,421
\end{aligned}
$
\begin{aligned}
P(X \leq 8) &=P(X=1)+P(X=2)+\cdots+P(X=8) \\
&=\frac{1}{6}+\frac{1}{6} \times\left(\frac{5}{6}\right)^{1}+\cdots+\frac{1}{6} \times\left(\frac{5}{6}\right)^{7} \\
&=\frac{1}{6} \times\left(1+\left(\frac{5}{6}\right)^{1}+\cdots+\left(\frac{5}{6}\right)^{7}\right) \\
&=\frac{1}{6} \times \frac{1-\left(\frac{5}{6}\right)^{8}}{1-\frac{5}{6}}=1-\left(\frac{5}{6}\right)^{8} \approx 0,77
\end{aligned}
2) $E(X)=\dfrac{1}{\dfrac{1}{6}}=6$
En moyenne, il faut 6 lancers pour obtenir un « 6 ». Ce résultat était prévisible !
Propriété 3 :
La loi géométrique est dite " sans mémoire" car la connaissance du résultat des $k$ premières expériences ne modifie pas les probabilités pour les suivantes.
Par exemple, si on lance une pièce de monnaie et que l'on considère comme succès "obtenir pile".
La probabilité d'obtenir un succès après le $10^{\mathrm{e}}$ lancer sachant qu'on n'a pas obtenu de succès pour les 4 premiers lancers est égale à la probabilité d'obtenir un succès après le $6^{\mathrm{e}}$ lancer.
Devoir attendre plus de $k$ essais pour obtenir un succes a la même probabilité qu'on commence à la 1ère épreuve ou qu'on commence à la $n+1$ième en sachant qu'on a raté les $n$ première. La loi est "sans mémoire".
Propriété 4 :
Soit la variable aléatoire $X$ qui suit la loi géométrique. Pour tous entiers $n$ et $k$ non nuls, on a: $P_{X>k}(X>n+k)=P(X>n)$.