Si une fonction $f$ est dérivable sur $I$ , on appelle fonction dérivée la fonction $f'$ définie sur $I$ qui à tout antécédent $x$ associe $f'(x)$, où $f'(x)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse .
Exemple 1 :
Sur cette représentation graphique d'une fonction $f$ tracée en bleu, on a tracé au point $A(a;f(a))$ la tangente à la courbe en violet. Le nombre dérivée en $a$, noté $f'(a)$ est d'après la définition, le coefficient directeur de la tangente, Attention de bien distinguer : $\quad \bullet f(a)$ qui est l'image de $a$ par la fonction $f$. On aurait approximativement $f(a)\approx 3$. $\quad\bullet f'(a)$ qui est le coefficient directeur de la droite violette. Ce coefficient serait ici clairement négatif puisque la droite "descend". $f'(a)\approx -1$
Application: La courbe $C_f$ tracée ci-dessous est la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ . Par lecture graphique, déterminer $f ′ (0)$, $f ′ (2)$ et $f ′ (3)$.
$f$ est une fonction dérivable sur $[-2 ; 3]$ . On sait que : $f(1)=2$ et $f^{\prime}(1)=-1$ . Déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentative de en 1. D'après la relationd e cours, on sait que : $(T):y=f'(a)(x-a)+f(a)$ d'où ici : $(T): y=f^{\prime}(1)(x-1)+f(1)$ $(T): y=-1 \times(x-1)+2$ $(T): y=-x+3$
On rappelle les formules de dérivées de somme, produit et quotient de fonctions : Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, on appelle $I^{*}=\{x\in I \quad\text{tel que} \quad v(x)\neq0\}$ Soit $k$ un nombre réel.
Expression de la fonction
définie sur
Expression de la dérivée
définie sur
$u+v$
$I$
$u^{\prime}+v^{\prime}$
$I$
$k \times u$
$I$
$k \times u'$
$I$
$u \times v$
$I$
$u^{\prime} v+u v^{\prime}$
$I$
$\dfrac{u}{v}$
$I^{*}$
$\dfrac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^{2}}$
$I^{*}$
$u^{2}$
$I$
$2 u u^{\prime}$
$I$
$\dfrac{1}{v}$
$I^{*}$
$-\dfrac{v^{\prime}}{v^{2}}$
$I^{*}$
Exemple 1 :
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes, définies sur $[1;10]$ $f(x)=4 x^{3}-5 x^{2}+6 x-7 \quad g(x)=\dfrac{3}{x}-4 \sqrt{x} \quad h(x)=\sqrt{x}(x-5) \quad i(x)=\dfrac{4-3 x^{2}}{7 x+2}$
C
Sens de variations et extremum :
Propriété 1 :
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$, alors : • $f$ est croissante sur $I$ équivaut à dire que pour tout $x$ de $I$ , $f'(x)\geq0$ • $f$ est décroissante sur $I$ équivaut à dire que pour tout $x$ de $I$ , $f'(x)\leq0$
Propriété 2 :
• Si $f$ admet un extremum local en $x_0$, alors $f'(x_0)=0$ • Si la dérivée $f'$ s'annule en $x_0$ en changeant de signe, alors $f$ admet un extremum local en $x_0$
Méthode :
Déterminer le sens de variation de la fonction $f$, définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^{3}-x^{2}-2 x-1$. La fonction admet-elle un maximum local ? Si oui, le préciser. Correction : On calcule la dérivée de $f$: $f^{\prime}(x)=3 x^{2}-2 x-2$ On étudie le signe de $f^{\prime}$ pour en déduire les variations de $f$ : On résout $3 x^{2}-2 x-2=0$ $\Delta=b^{2}-4 a c=(-2)^{2}-4 \times 3 \times(-2)=4+24=28>0$ L'équation admet deux solutions: $x_{1}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}$ et $x_{2}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a}$ $x_{1}=\dfrac{2+\sqrt{28}}{6}$ et $x_{2}=\dfrac{2-\sqrt{28}}{6}$ $S=\left\{\dfrac{1+\sqrt{7}}{3} ; \dfrac{1-\sqrt{7}}{3}\right\}$ $f\left(x_{1}\right)=-\dfrac{47+14 \sqrt{7}}{27} \approx-3 \quad f\left(x_{2}\right)=\dfrac{-47+14 \sqrt{7}}{27} \approx-0,4$ $f'$ s'annule et change de signe en en $x_{1}$ et en $x_{2}$. Il y a donc des extrémums locaux en $x_1$ et en $x_2$. D'après le tableau de variations, $f$ admet donc un maximum local en $x_{1}=\dfrac{2-\sqrt{28}}{6}$ qui vaut $f\left(x_{1}\right)=\dfrac{-47+14 \sqrt{7}}{27} \approx-0,4$
La définition mathématique de la continuité d’une fonction sur un intervalle est hors programme . On se limitera ici à une définition intuitive et graphique qui nous suffira pour résoudre les problèmes proposés.
Définition 1 :
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On dit que $f$ est continue sur $I$ si on peut tracer la courbe représentative de $f$ sur $I$ "sans lever le crayon".
Exemple 1 :
On dit que la fonction représentée est continue sur [-1;2]
Exemple 2 :
On dit que la fonction représentée n’est pas continue sur[-3;3]. On est obligé de "lâcher" le stylo en $-1$ Par contre, elle est continue sur [-3 ; -1]
Remarque 2 :
Dans un tableau de variations de fonction, il est convenu que les flèches obliques indiquent que la fonction est continue et strictement monotone
B
Propriété (admise)
Propriété 1 :
Une fonction dérivable sur un intervalle $I$ est aussi continue sur $I$
Remarque 1 :
Dès qu’on sait qu’une fonction est dérivable sur un intervalle, on peut en déduire qu’elle est continue sur cet intervalle.
Exemple 1 :
Soit la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=4x^{3}-5x^{2}+x-1$. $f$ étant une fonction polynôme, on sait qu’elle est dérivable sur $\mathbb R$ par conséquence, $f$ est continue sur $\mathbb R$
Attention : La réciproque est fausse ! On a : $f$ dérivable sur $I$ $\Rightarrow$ $f$ continue sur $I$ Mais $f$ continue sur $I$ $\not\Rightarrow$ $f$ dérivable sur $I$
Théorème des valeurs intermédiaires : Si $f$ est une fonction continue sur $[a;b]$ , Si $k$ est un nombre compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , Alors l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution sur $]a;b[$ .
Exemple 1 :
La fonction $f$ est bien continue sur $[a;b]$. L'image de l'intervalle $[a;b]$ est donc un intervalle . Tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ est l'image d'au moins un élément de $[a;b]$.
Exemple 2 :
La fonction $f$ n’est pas continue sur $[a;b]$. L'image de l'intervalle $[a;b]$ n'est pas un intervalle. Il existe des réels $k$ compris entre $a$ et $b$ pour lesquels l'équation $f(x)=k$ n'a pas de solution. On ne peut donc pas appliquer le théorème des valeurs intéermédiaires dans cette situation.
Application : La fonction $f$ vérifie le tableau de variation ci-dessous. Montrer que l'équation $f(x)=12$ admet au moins une solution sur $[-3;7]$.
Soit une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb R$ et $a$ et $b$ deux réels appartenant à $I$, tels que $aSi $f$ est continue et strictement monotone sur $[a;b]$ Alors pour tout $k$ réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , Alors l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution sur $]a;b[$ .
Exemple 1 :
On a une fonction continue et strictement croissante sur $[a;b]$, elle est donc strictement monotone sur $[a;b]$. L'équation $f(x)=k$ admet donc une solution unique $k$ appartenant à $[a;b]$.
Application : La fonction $f$ vérifie le tableau de variation ci-dessous. Montrer que l'équation $f(x)=1$ admet une unique solution sur $]-\infty;3]$
C
Cas particulier :
Propriété 1 :
Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur $[a;b]$, Si $f(a)\times f(b)<0$ (c’est à dire que $f(a)$ et $f(bà$) sont de signes opposés), alors l'équation $f(x)=k$ admet une solution unique dans $[a;b]$.
Exemple 1 :
On a $f$ une fonction continue et strictement croissante sur $[a;b]$ donc monotone sur $[a;b]$. On a aussi $f(a)<0$ et $f(b)>0$ donc on a bien $f(a)\times f(b)<0$ L'équation $f(x)=0$ admet donc une solution unique dans $[a;b]$.
Remarque 1 :
C’est un outil pratique pour prouver qu’une équation complexe du type $f(x)=0$ possède une unique solution.
Application : Montrer que l’équation $x^{3}+x^{2}-5=0$ admet une unique solution sur $[0;3]$, dont on donnera une valeur approchée au dixième.
