Continuité et dérivabilité


Version pdf du cours :
$\quad$ mathsguyon.fr

I
Rappels sur la dérivabilité :
A
Tangente à la courbe

Définition 1 :
Si une fonction $f$ est dérivable sur $I$ , on appelle fonction dérivée la fonction $f'$ définie sur $I$ qui à tout antécédent $x$ associe $f'(x)$, où $f'(x)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse .
Exemple 1 :
Sur cette représentation graphique d'une fonction $f$ tracée en bleu, on a tracé au point $A(a;f(a))$ la tangente à la courbe en violet.

Le nombre dérivée en $a$, noté $f'(a)$ est d'après la définition, le coefficient directeur de la tangente,
Attention de bien distinguer :
$\quad \bullet f(a)$ qui est l'image de $a$ par la fonction $f$. On aurait approximativement $f(a)\approx 3$.
$\quad\bullet f'(a)$ qui est le coefficient directeur de la droite violette. Ce coefficient serait ici clairement négatif puisque la droite "descend". $f'(a)\approx -1$

Application:
La courbe $C_f$ tracée ci-dessous est la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ .
Par lecture graphique, déterminer $f ′ (0)$, $f ′ (2)$ et $f ′ (3)$.


Propriété 1 :
Soit une fonction définie sur un intervalle $D$ et $M(a;f(a)=$ un point tel que $a\in D$ :
La courbe représentative de la fonction $f$ admet une tangente $(T)$ au point $M$ d'équation : $$y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)$$
Voir cette vidéo si besoin pour la démonstration de ce résultat fondamental.
Méthode :
$f$ est une fonction dérivable sur $[-2 ; 3]$ . On sait que : $f(1)=2$ et $f^{\prime}(1)=-1$ .
Déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentative de en 1.
D'après la relationd e cours, on sait que :
$(T):y=f'(a)(x-a)+f(a)$
d'où ici :
$(T): y=f^{\prime}(1)(x-1)+f(1)$
$(T): y=-1 \times(x-1)+2$
$(T): y=-x+3$
QCM pour s'évaluer 1: Accès sans indentifiants $\quad$ Accès avec indentifiants

B
Les Formules de dérivabilité :

Propriété 1 :
On rappelle les formules de dérivations des fonctions de références :
Expression de la fonctiondéfinie surExpression de la dérivéedéfinie sur
$f(x)=ax+b$$\mathbb{R}$$f^{\prime}(x)=a$$\mathbb{R}$
$f(x)=x^{n}$$\mathbb{R}$$f^{\prime}(x)=n \times x^{n-1}$$\mathbb{R}$
$f(x)=\dfrac{1}{x}$$\mathbb{R}^{*}$$f^{\prime}(x)=\mathbb{R}^{*}$$\mathbb{R}^{*}$
$f(x)=\sqrt{x} $ $\mathbb{R}_{+}$$f^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x}} $ $\mathbb{R}_{+}^{*}$
On fera bien attention au domaine de dérivabilité qui change pour la fonction racine carrée, dont la dérivée n'existe pas en zéro.
Voir cette vidéo si besoin pour s'en convaincre.
Propriété 2 :
On rappelle les formules de dérivées de somme, produit et quotient de fonctions :
Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$,
on appelle $I^{*}=\{x\in I \quad\text{tel que} \quad v(x)\neq0\}$
Soit $k$ un nombre réel.
Expression de la fonctiondéfinie surExpression de la dérivéedéfinie sur
$u+v$$I$$u^{\prime}+v^{\prime}$$I$
$k \times u$ $I$$k \times u'$ $I$
$u \times v$ $I$$u^{\prime} v+u v^{\prime}$ $I$
$\dfrac{u}{v}$ $I^{*}$$\dfrac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^{2}}$$I^{*}$
$u^{2}$ $I$$2 u u^{\prime}$$I$
$\dfrac{1}{v}$ $I^{*}$$-\dfrac{v^{\prime}}{v^{2}}$$I^{*}$
Exemple 1 :
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes, définies sur $[1;10]$
$f(x)=4 x^{3}-5 x^{2}+6 x-7 \quad g(x)=\dfrac{3}{x}-4 \sqrt{x} \quad h(x)=\sqrt{x}(x-5) \quad i(x)=\dfrac{4-3 x^{2}}{7 x+2}$
C
Sens de variations et extremum :

Propriété 1 :
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$, alors :
• $f$ est croissante sur $I$ équivaut à dire que pour tout $x$ de $I$ , $f'(x)\geq0$
• $f$ est décroissante sur $I$ équivaut à dire que pour tout $x$ de $I$ , $f'(x)\leq0$
Propriété 2 :
• Si $f$ admet un extremum local en $x_0$, alors $f'(x_0)=0$
• Si la dérivée $f'$ s'annule en $x_0$ en changeant de signe, alors $f$ admet un extremum local en $x_0$
Méthode :
Déterminer le sens de variation de la fonction $f$, définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^{3}-x^{2}-2 x-1$.
La fonction admet-elle un maximum local ? Si oui, le préciser.
Correction :
On calcule la dérivée de $f$:
$f^{\prime}(x)=3 x^{2}-2 x-2$
On étudie le signe de $f^{\prime}$ pour en déduire les variations de $f$ :
On résout $3 x^{2}-2 x-2=0$
$\Delta=b^{2}-4 a c=(-2)^{2}-4 \times 3 \times(-2)=4+24=28>0$
L'équation admet deux solutions:
$x_{1}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}$ et $x_{2}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a}$
$x_{1}=\dfrac{2+\sqrt{28}}{6}$ et $x_{2}=\dfrac{2-\sqrt{28}}{6}$
$S=\left\{\dfrac{1+\sqrt{7}}{3} ; \dfrac{1-\sqrt{7}}{3}\right\}$
$f\left(x_{1}\right)=-\dfrac{47+14 \sqrt{7}}{27} \approx-3 \quad f\left(x_{2}\right)=\dfrac{-47+14 \sqrt{7}}{27} \approx-0,4$
$f'$ s'annule et change de signe en en $x_{1}$ et en $x_{2}$.
Il y a donc des extrémums locaux en $x_1$ et en $x_2$.

D'après le tableau de variations, $f$ admet donc un maximum local en $x_{2}=\dfrac{2-\sqrt{28}}{6}$ qui vaut $f\left(x_{2}\right)=\dfrac{-47+14 \sqrt{7}}{27} \approx-0,4$

QCM pour s'évaluer 1: Accès sans indentifiants $\quad$ Accès avec indentifiants

II
Continuité sur un intervalle :

A
Définition :
Remarque 1 :
La définition mathématique de la continuité d’une fonction sur un intervalle est hors programme .
On se limitera ici à une définition intuitive et graphique qui nous suffira pour résoudre les problèmes proposés.
Définition 1 :
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
On dit que $f$ est continue sur $I$ si on peut tracer la courbe représentative de $f$ sur $I$ "sans lever le crayon".
Exemple 1 :

On dit que la fonction représentée est continue sur [-1;2]

Exemple 2 :

On dit que la fonction représentée n’est pas continue sur[-3;3].
On est obligé de "lâcher" le stylo en $-1$
Par contre, elle est continue sur [-3 ; -1]

Remarque 2 :
Dans un tableau de variations de fonction, il est convenu que les flèches obliques indiquent que la fonction
est continue et strictement monotone
B
Propriété (admise)
Propriété 1 :
Une fonction dérivable sur un intervalle $I$ est aussi continue sur $I$
Remarque 1 :
Dès qu’on sait qu’une fonction est dérivable sur un intervalle, on peut en déduire qu’elle est continue sur cet intervalle.
Exemple 1 :
Soit la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=4x^{3}-5x^{2}+x-1$.
$f$ étant une fonction polynôme, on sait qu’elle est dérivable sur $\mathbb R$ par conséquence, $f$ est continue sur $\mathbb R$
Attention : La réciproque est fausse !
On a : $f$ dérivable sur $I$ $\Rightarrow$ $f$ continue sur $I$
Mais $f$ continue sur $I$ $\not\Rightarrow$ $f$ dérivable sur $I$
Exemple 2 :
La fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=\vert x\vert$ n'est pas dérivable en $0$ alors qu'elle est continue sur $\mathbb R$.
Pour plus d'infos et la démonstration de la non-dérivabilité de cette fonction en zéro, voir cette vidéo
QCM pour s'évaluer 1: Accès sans indentifiants $\quad$ Accès avec indentifiants

III
Théorème des valeurs intermédiqires :
A
Théorème :

Propriété 1 :
Théorème des valeurs intermédiaires :
Si $f$ est une fonction continue sur $[a;b]$ , Si $k$ est un nombre compris entre $f(a)$ et $f(b)$ ,
Alors l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution sur $]a;b[$ .
Exemple 1 :


La fonction $f$ est bien continue sur $[a;b]$.
L'image de l'intervalle $[a;b]$ est donc un intervalle .
Tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ est l'image d'au moins un élément de $[a;b]$.

Exemple 2 :


La fonction $f$ n’est pas continue sur $[a;b]$.
L'image de l'intervalle $[a;b]$ n'est pas un intervalle.
Il existe des réels $k$ compris entre $a$ et $b$ pour lesquels l'équation $f(x)=k$ n'a pas de solution.
On ne peut donc pas appliquer le théorème des valeurs intéermédiaires dans cette situation.

Application :
La fonction $f$ vérifie le tableau de variation ci-dessous.

Montrer que l'équation $f(x)=12$ admet au moins une solution sur $[-3;7]$.
QCM pour s'évaluer 1: Accès sans indentifiants $\quad$ Accès avec indentifiants

B
Corollaire:

Propriété 1 :
Soit une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb R$ et $a$ et $b$ deux réels appartenant à $I$,
tels que $aSi $f$ est continue et strictement monotone sur $[a;b]$
Alors pour tout $k$ réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ ,
Alors l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution sur $]a;b[$ .
Exemple 1 :

On a une fonction continue et strictement croissante sur $[a;b]$,
elle est donc strictement monotone sur $[a;b]$.
L'équation $f(x)=k$ admet donc une solution unique $k$ appartenant à $[a;b]$.

Application :
La fonction $f$ vérifie le tableau de variation ci-dessous.

Montrer que l'équation $f(x)=1$ admet une unique solution sur $]-\infty;3]$
C
Cas particulier :
Propriété 1 :
Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur $[a;b]$,
Si $f(a)\times f(b)<0$ (c’est à dire que $f(a)$ et $f(bà$) sont de signes opposés),
alors l'équation $f(x)=k$ admet une solution unique dans $[a;b]$.
Exemple 1 :

On a $f$ une fonction continue et strictement croissante sur $[a;b]$ donc monotone sur $[a;b]$.
On a aussi $f(a)<0$ et $f(b)>0$ donc on a bien $f(a)\times f(b)<0$
L'équation $f(x)=0$ admet donc une solution unique dans $[a;b]$.

Remarque 1 :
C’est un outil pratique pour prouver qu’une équation complexe du type $f(x)=0$ possède une unique solution.
Application :
Montrer que l’équation $x^{3}+x^{2}-5=0$ admet une unique solution sur $[0;3]$, dont on donnera une valeur approchée au dixième.