Les Fractions et opérations

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I. Additions et soustractions de fractions.
II. Multiplications de fractions.
III. Divisions de fractions.
IV. Calculer avec des fractions.
V. Préparer l'évaluation

I
Additions et soustractions de fractions

Propriété 1 :
Addition/soustraction :
Pour additionner ou soustraire deux nombres en écriture fractionnaire, il faut :
$\quad\bullet$ les réduire au même dénominateur (si ce n’est pas le cas)
$\quad\bullet$ ajouter ou soustraire les numérateurs et garder le dénominateur.
Méthode :
Ajouter ou soustraire des fractions de même dénominateur :
$\dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{3} = \dfrac{\textbf{2+5}}{3}=\dfrac{7}{3}$
$\quad\rightarrow$ On ajoute les numérateurs, on conserve le dénominateur.
Méthode :
Ajouter ou soustraire des fractions de dénominateurs multiples l'un de l'autre :
$ \dfrac{3}{6}+\dfrac{4}{18} = \dfrac{3 \times \textbf{ 3}}{6 \times \textbf{3}}+\dfrac{4}{18} = \dfrac{9}{18} +\dfrac{4}{18}=\dfrac{13}{18}$
$\quad\rightarrow$ On utilise que $18$ est un multiple de $6$ pour placer les deux fractions au même dénominateur.
Méthode :
Ajouter ou soustraire des fractions de dénominateurs non-multiples l'un de l'autre :
$ \dfrac{3}{7}-\dfrac{2}{10} = \dfrac{3 \times \textbf{ 10}}{7 \times \textbf{ 10}}– \dfrac{2 \times \textbf{ 7}} {10 \times \textbf{ 7}} = \dfrac{30}{70}-\dfrac{14}{70} = \dfrac{16}{70}$
$\quad\rightarrow$ $10$ n'est pas un multiple de $7$. On cherche donc parmi les multiples de 7, le plus petit multiple de $10$. On trouve $7\times10$.
Attention : Il n'est pas toujours utile de multiplier les deux dénominateurs entre eux :
Par exemple pour calculer : $ \dfrac{5}{8}+\dfrac{3}{12}$
On cherche ule plus petit multiple commun à $8$ et $12$, on trouve $24$ qui est plus simple que $8\times12=96$.
$ \dfrac{5}{8}+\dfrac{3}{12}= \dfrac{5\times 3}{8\times 3}+\dfrac{3\times 2}{12\times 2}= \dfrac{15}{24}+\dfrac{6}{24}=\dfrac{21}{24}$
S'entraîner seul :


Pour s'évaluer :
Accès sans indentifiants
Accès avec indentifiants

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II
Multiplications de fractions

Propriété 1 :
Multiplication :
Pour multiplier deux nombres en écritures fractionnaires, il faut :
multiplier les numérateurs entre eux et multiplier les dénominateurs entre eux.
Exemple 1 :
$ \dfrac{3}{4} \times \dfrac{5}{7}= \dfrac{3\times 5}{4 \times 6} = \dfrac{15}{24}$
S'entraîner seul :


Méthode :
Attention à la règle des signes !
Exemple : Calculer $ \dfrac{-3}{7} \times \dfrac{-5}{-6}$
$\quad\rightarrow$ Avant de calculer le produit, on détermine son signe. Pour cela, con compte le nombre de facteurs négatifs.
$\quad\quad\quad\rightarrow$ S'il est pair, le produit est positif,
$\quad\quad\quad\rightarrow$ s'il est impair, le produit est négatif.
Dans notre exemple, il y a 3 facteurs négatifs, le produit est donc négatif.
On peut donc déduire que :
$\dfrac{-3}{7} \times \dfrac{-5}{-6} = - \dfrac{3}{7} \times \dfrac{5}{6}\quad$ On détermine d'abord le signe qu'on place devant le calcul.
$\phantom{\dfrac{-3}{7} \times \dfrac{-5}{-6} }=-\dfrac{3\times5}{7\times6}\quad$ On applique les règles de calcul di produit.
$\phantom{\dfrac{-3}{7} \times \dfrac{-5}{-6} }=-\dfrac{3\times5}{7\times3\times2}\quad$ On essaie de simplifier la fraction.
$\phantom{\dfrac{-3}{7} \times \dfrac{-5}{-6} }=-\dfrac{5}{21}\quad$ On peut conclure.
S'entraîner seul :


Méthode :
Il faut penser à simplifier avant de multiplier des fractions:
Exemple : Calculer $ \dfrac{32}{49} \times \dfrac{35}{36}$
$\quad\rightarrow$ Il serait malvenu de calculer $ \dfrac{32}{49} \times \dfrac{35}{36}=\dfrac{32\times 35}{49\times 36}=\dfrac{1120}{1764} $ !!!
Attention : Il faut toujours penser à simplifier avant d'effectuer les produits :
$\dfrac{32\times 35}{49\times 36}=\dfrac{8\times \textbf{4}\times \textbf{7}\times 5}{7\times\textbf{7}\times \textbf{4}\times9}=\dfrac{8\times 5}{7\times9}=\dfrac{40}{63}$
S'entraîner seul :


Pour s'évaluer :
Accès sans indentifiants
Accès avec indentifiants

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III
Divisions de fractions :
A
Inverse d'un nombre :

Définition 1 :
Deux nombres sont inverses lorsque leur produit vaut 1.
Exemple 1 :
$\dfrac{3}{4}\times\dfrac{4}{3} = 1$ donc $\dfrac{3}{4}$ a pour inverse $\dfrac{4}{3}$
Méthode :
Trouver l'inverse d'un nombre en écriture fractionnaire, revient à « inverser » le dénominateur et le numérateur.
Exemple 2 :
$\quad\bullet$ L'inverse de $\dfrac{7}{5}$ est $\dfrac{5}{7}$
$\quad\bullet$ L'inverse de de $5$ (ou $\dfrac{5}{1}$ ) $\dfrac{1}{5}$.
S'entraîner seul :


Pour s'évaluer :
Accès sans indentifiants
Accès avec indentifiants

B
Diviser par un nombre en écriture fractionnaire :

Propriété 1 :
Division :
Diviser par un nombre en écriture fractionnaire revient à multiplier par son inverse.
Comprendre :
Pour comprendre d'où cela vient. Voici un exemple de calcul :
$ \dfrac{7}{3} \div \dfrac{2}{11} = \dfrac{\dfrac{7}{3} } { \dfrac{2}{11}}\quad\quad\quad\quad$On transforme la division en fraction
Le dénominateur est $\dfrac{2}{11}$ , son inverse est $ \dfrac{11}{2}$
$\phantom{\dfrac{7}{3} \div \dfrac{2}{11}} =\dfrac{\dfrac{7}{3} \times \dfrac{11}{2}} { \dfrac{2}{11}\times\dfrac{11}{2}}\quad\quad$ On multiplie numérateur et dénominateur par l'inverse du dénominateur
$\phantom{\dfrac{7}{3} \div \dfrac{2}{11}}$
$\phantom{\dfrac{7}{3} \div \dfrac{2}{11}}= \dfrac{\dfrac{7\times 11}{3\times 2} } { 1}\quad\quad$ Le dénominateur vaut 1
$\phantom{\dfrac{7}{3} \div \dfrac{2}{11}}$
$\phantom{\dfrac{7}{3} \div \dfrac{2}{11}}=\dfrac{\dfrac{77}{6}}{1}\quad\quad$ On effectue le produit au numérateur.
$\phantom{\dfrac{7}{3} \div \dfrac{2}{11}}$
$\phantom{\dfrac{7}{3} \div \dfrac{2}{11}}=\dfrac{77}{6}$
En somme, on a seulement calculé : $ \dfrac{7}{3} \div \dfrac{2}{11} = \dfrac{7}{3} \times\dfrac{11}{2}=\dfrac{77}{6}$.
Pour diviser par $ \dfrac{2}{11} $, on a multiplié par $\dfrac{11}{2}$
Méthode :
Pour diviser deux fractions :
$\quad\bullet$ On conserve la première fraction
$\quad\bullet$ On change le $\div$ en $ {}\times{} $
$\quad\bullet$ On transforme la deuxième fraction en son inverse.
Exemple 1 :
$\begin{aligned}
\dfrac{4}{5} \div \dfrac{7}{6} &=\dfrac{4}{5} \times \dfrac{6}{7}\\
& =\dfrac{4\times 6}{5\times7} \\
& = \dfrac{24}{35}\\
\end{aligned}$
Méthode :
Pour diviser une fraction par un nombre entier :
$\quad\bullet$ On conserve la fraction
$\quad\bullet$ On change le $\div$ en ${}\times{}$
$\quad\bullet$ On transforme le nombre entier en fraction en lui mettant $1$ au dénominateur.
$\quad\bullet$ On transforme la deuxième fraction en son inverse.
Exemple 2 :


S'entraîner seul :

Méthode :
Division et règle des signes
On compte les nombres de signes négatifs pour déterminer le signe du quotient :
$\quad\bullet$ $\dfrac{-2}{-3}=\dfrac{2}{3}$. Deux signes -, le quotient est positif.
$\\$
$\quad\bullet$ $\dfrac{-2}{3}=-\dfrac{2}{3}$. Un signe -, le quotient est négatif.
$\\$
$\quad\bullet$ $\dfrac{2}{-3}=-\dfrac{2}{3}$. Un signe -, le quotient est négatif.
$\\$
$\quad\bullet$ $-\dfrac{-2}{-3}=-\dfrac{2}{3}$. Trois signes -, le quotient est négatif.
$\\$
$\quad\bullet$ $-\dfrac{2}{-3}=\dfrac{2}{3}$. Deux signes -, le quotient est positif.
S'entraîner seul :



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IV
Effectuer une série de calculs avec les fractions :
Exercice 1 :
Calculer :
$A=\dfrac{7}{15}-\dfrac{4}{15} \div \dfrac{8}{5}$

Exercice 2 :
Calculer :
$A=\dfrac{1}{9}-\dfrac{15}{9} \times \dfrac{1}{6}$

S'entraîner seul :



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V
Préparer l'évaluation :
A
Additions/soustractions de fractions :
Exercice 1 :
Calculer :$ A=\dfrac{6}{5}+\dfrac{2}{15}~~~;~~B=\dfrac{7}{3}-\dfrac{1}{12}$

Exercice 2 :
Calculer : $E=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}~;~F=\dfrac{9}{4}-\dfrac{7}{12}~;~G=\dfrac{5}{6}-\dfrac{3}{48} ~; ~ H=\dfrac{9}{7}-\dfrac{64}{63};~I=\dfrac{19}{99}-\dfrac{1}{11}$

Exercice 3 :
Calculer : $A=2+\dfrac{3}{10}~~~~B=5-\dfrac{9}{2}$

Exercice 4 :
$\text{Calculer : } J=4-\dfrac{3}{2}~~~~K=\dfrac{9}{4}-1~~~~~L=7+\dfrac{1}{4}~~~M=\dfrac{16}{3}-3$

Exercice 5 : :
Calculer : $~~A=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{7}$

B
Multiplier des fractions :
Exercice 1 :
Calculer : $C=\dfrac{9}{2} \times \dfrac{6}{14} \times \dfrac{21}{3}$

Exercice 2 :
Calculer : $B=\dfrac{12}{14} \times \dfrac{21}{20}$

Exercice 3 :
Calculer : $A=\dfrac{16}{5} \times \dfrac{25}{4}$

Exercice 4 :
Calculer :$A=5 \times \dfrac{2}{9} \quad B=3 \times \dfrac{11}{7}$

C
Diviser des fractions :
Exercice 4 :
Calculer :$\dfrac{5}{9} \div \dfrac{6}{11}=$ et $\dfrac{-2}{3} \div \dfrac{-4}{7}=$

D
Opérer avec les fractions :
Exercice 1 :
Calculer : $A=\dfrac{8}{9}-\dfrac{2}{9} \times \dfrac{7}{3} \mid B=3-\dfrac{9}{15} \times \dfrac{5}{12}$

Exercice 2 :
Calculer : $A=\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{4} \div\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{3}\right)$


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