Les Identités remarquables

Version du cours en .pdf
Retour sur mathsguyon.fr

I
Développer une identité remarquable :



A
Les formules :



◦ le carré d'une somme : $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
◦ le carré d'une différence : $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
◦ le produit d'une somme et d'une différence : $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$
B
Développer avec des nombres :



Exemple 1 :
Application à du calcul mental :
◦ $31^{2}=(30 + 1)^{2} = 30^{2}+2\times30\times1+1^{2}=900+60+1=961$
◦ $19^{2}=(20 - 1)^{2} = 20^{2}-2\times20\times1+1^{2}=400-40+1=361$
◦ $29 \times 31 = (30 -1)(30+1) = 30^{2}-1^{2}=900-1=899$
C
Développer avec des expressions algébriques :



Exemple 1 :
Développer :
$(x +2)^{2}=x^{2}+2\times x\times2+2^{2}=x^{2}+4x+4$
$(3x +4)^{2}=(3x)^{2}+2\times3x\times4+4^{2}=9x^{2}+24x+16$
$(5x-2)^{2}=(5x)^{2}-2\times5x\times2+2^{2}=25x^{2}-20x+4$
$(7x-8)(7x+8)=(7x)^{2}-8^{2}=49x^{2}-64$
D
Développer avec des identités remarquables :
Ces exercices sont d'un bon niveau de maîtrise de calcul littéral.
Ils ne sont pas dans le socle attendu pour un élève de 3ème mais font partie d'une base solide pour l'entrée en seconde.
Exemple 1 :
Développer : $A = (7 x - 4)^{2} - (5 x -1)(3 - 2 x)$



Exemple 2 :
Développer : $A = (4 x + 5)^{2} - (2 x +3)(2 x -3)$



II
Factoriser en utilisant une identité remarquable



A
Rappels :
◦ Développer c'est transformer un produit en somme.
◦ Factoriser, c'est transformer une somme en un produit.

B
Application aux identités remarquables :
Méthode :
On utilise les mêmes formules dans l'autre sens :
$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$
$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$
$a^{2}-b^{2}= (a+b)(a-b)$
Exemple 1 :
Factoriser :
$x^{2}+2 x+1=\dots \quad\quad \quad\quad 9 x^{2}-24 x+16=\dots \quad\quad \quad\quad x^{2}-4=\dots $
$4 x^{2}+12 x+9=\dots \quad\quad \quad\quad 49 x^{2}-42 x+36=\dots \quad\quad\quad\quad 25 x^{2}-1=\dots $


III
Préparer l'évaluation :
A
Développer avec les identités remarquables :
Méthode :
Pour que ces exercices soient utiles, vous devez les travailler avant par écrit, comme vous le feriez en devoir surveillé. Sans aide, ni cours.
Regardez ensuite la correction pour juger votre travail, trouver vos éventuelles erreurs, en essayant de bien les analyser.
Exercice 1 :
Développer $(x + 5)^2$    Correction
Développer $(2 x - 3)^2$    Correction
Développer $(5 x - 4)(5 x + 4)$    Correction
Exercice 2 :
Développer : A = $(6 + x) ^2$    ; B =$(5 a - 2) ^2$   ;
C = $(2 x - 5) (2 x + 5)$
D = $(6 x + 7)^2$   ; E = $(14 x -13)^2$              Correction
Exercice 3 :
Cet exercice est difficile, il est une bonne préparation à l'entrée en seconde mais n'est pas exigible en évaluation 3ème :
Développer et réduire :
A= $(4 - x)^2- (x + 3)(2 x - 4)$         Résultat non détaillé    -    Correction détaillée
F = $(5 x - 2)^2 - (3x - 1) (x - 2)$            Correction
A = $7x - (6x + 2)^2$    B = $(6x - 4)^2 - (2x - 6)^2$               Correction
B
Factoriser avec les identités remarquables :
Exercice 1 :
Factoriser, si possible :
$A=x^{2}+2 x+1 \quad\quad;\quad\quad B=4 x^{2}+12 x+9\quad\quad$ ; $\quad\quad C=9 x^{2}-24 x+16 \quad\quad;\quad\quad D=49 x^{2}-42 x+36\quad$
Correction
Exercice 2 :
Factoriser :
$A=x^{2}-4 \quad ; \quad B=25 x^{2}-1$ Correction
Exercice 3 :
Factoriser $B=16-(4-x)^{2}\quad\quad$ Correction
Exercice 4 :
Factoriser :
A =$16 x^2 + 24 x + 9$     ;    B = $81 ^2 - 36 x + 4$   ; C = $9 - 6 x + x^2$    ;   D = $49 x^2 - 16$ ; E = $4 - 100 x^2$  ;  F = $36 - x^2$
Correction
Exercice 5 :
Factoriser :
G = $9 x^2 - 30 x + 25$  ;   H = $16 x^2 - 4\quad\quad$          Correction
Exercice 6 :
Factoriser :
A = $9 t^2 + 12 t + 4$ et B = $36 - 49 x^2\quad\quad$           Correction