On appelle fonction affine toute fonction f qui s'écrit sous la forme $f (x)=a x+b$ , où $a$ et $b$ sont des nombres fixés.
Exemple 1 :
$\bullet f (x)=3 x+2$ : $f$ est une fonction affine sous la forme $f(x)=ax+b$ avec $a=3$ et $b=2$ $\bullet f (x)=−4 x+1$ : $f$ est une fonction affine sous la forme $f(x)=ax+b$ avec $a=−4$ et $b=1$ $\bullet f (x)=3 x² +2$ : $f$ n'est pas une fonction affine.
B
Cas particuliers de fonction affine :
$\bullet$ si $a=0$ , la fonction affine $f$ s'écrit : $f (x)=0 \times x+b=b$ On appelle cette famille de fonctions des fonctions constantes.
Exemple 1 :
La fonction $f$ définie par $f (x)=4$ est une fonction constante. Il n'y a pas de "$x$" $f (3)=4$, $f (−5)=4$, etc....
$\bullet$ si $b=0$ , la fonction affine $f$ s'écrit : $f (x)=a \times x+0=a x$ On appelle cette famille de fonctions des fonctions linéaires.
Exemple 2 :
La fonction $f$ définie par $f (x)=−4 x$ est la fonction linéaire de coefficient - 4
La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine.
Méthode :
Représenter graphiquement la fonction $f$ définie par $f (x)=1,5 x$
Rédaction : On sait que $f$ est une fonction linéaire, donc sa représentation graphique est une droite passant par l'origine. On cherche donc un deuxième point de la droite : On prend une valeur qui nous convient pour $x$ , par exemple $x=2$ $f (2)=1,5\times 2=3$ donc le point de coordonnées $(2;3)$ appartient à la droite.
C
Représenter graphiquement une fonction affine :
Propriété 1 :
La représentation graphique d'une fonction affine $f$ qui s'écrit sous la forme $f (x)=a x+b$, est une droite qui passe par le point de coordonnées $(0;b)$.
Exemple 1 :
La représentation graphique de la fonction $f$ définie par $f (x)=3 x+2$ est une droite passant par le point de coordonnées $(0;2)$
Méthode :
Représenter graphiquement la fonction $f$ définie par $f (x)=−2 x+1$
Rédaction : $f$ est une fonction affine donc sa représentation graphique est une droite qui passe par le point de coordonnées $(0;1)$. si $x=2$ , $f (2)=−2\times 2+1=−3$ donc le point de coordonnées $(2 ;-3)$ appartient à la droite.
Coefficient directeur et ordonnée à l'origine d'une droite représentative d'une fonction affine :
Propriété 1 :
$\bullet$ On dit que $b$ est « l'ordonnée à l'origine », il mesure l'étage où la droite va couper l'axe des ordonnées. $\bullet$ On dit que $a$ est « le coefficient directeur de la droite », il mesure la pente ou l'inclinaison de la droite.
E
Déterminer l'expression algébrique d'une fonction linéaire
Exemple 1 :
Déterminer l'expression algébrique de la fonction linéaire $f$ en sachant que $f (3)=4,5$
Rédaction : $f$ est une fonction linéaire donc elle s'écrit sous la forme $f (x)=a \times x$ On cherche $a$ en sachant que $f (3)=4,5$ et $f (3)=a \times 3$ d'où $a \times 3=4,5$ donc $a=\dfrac{4,5}{3} =1,5$ au final, $f (x)=1,5 \times x$
