Savoir effectuer et utiliser la division euclidienne de deux entiers (3N10)
Définition 1 :
On appelle division euclidienne une division avec quotient entier.
Exemple 1 :
On dit que 25 est le Dividende ; 4 est le Diviseur ; 6 est le Quotient ; 1 est le Reste
Remarque 1 :
Le reste est toujours inférieur au diviseur
II
Division euclidienne en ligne
Propriété 1 :
On considère un entier naturel $a$ et un entier naturel non nul $b$. Effectuer la division euclidienne de $a$ par $b$, c'est trouver les deux entiers naturels $q$ et $r$ tels que : $a = b \times q +r$ avec $r < b$ où $q$ est le quotient (entier) et $r$ le reste de la division euclidienne.
De l'exemple précédent, on peut en déduire l'écriture en ligne de la division euclidienne de 25 par 4 $25=4 \times 6+1$
Propriété 2 :
On peut écrire cette division en ligne : $\quad$ Dividende = Diviseur $\times$ quotient $+$ reste.
Exemple 1 :
Écrire la division euclidienne de 37 par 8 avec un calcul en ligne
Déterminer si un entier est ou n'est pas multiple ou diviseur d'un autre entier
Définition 1 :
$a$ et $b$ sont deux entiers naturels. Si le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est nul, on dit que $b$ divise $a$ ou que $b$ est un diviseur de $a$ ou que $a$ est un multiple de $b$ ou que $a$ est divisible par $b$
Exemple 1 :
Le reste de la division euclidienne de 28 par 9 est 1 donc: 9 n est pas un diviseur de 28 ou 9 ne divise pas 28 ou 28 n 'est pas un multiple de 9
Exemple 2 :
17 est un diviseur de 34 ou 17 divise 34 34 est un multiple de 17 ou encore 34 est divisible par 17
Pour rendre une fraction irréductible, on peut décomposer le numérateur et le dénominateur en produit de nombres premiers, et simplifier ensuite par leurs facteurs communs.
