Les bases du calcul littéral

I
Nature d'une expression algébrique

Méthode :
Il est indispensable de savoir déterminer si une expression algébrique est une somme ou unproduit.
Pour le savoir, on regarde la dernière opération à effectuer en respectant les priorités calculatoires.
Exemple :
$\quad\bullet\quad 3 \times x$ est un produit.
$\quad\bullet\quad3 + x$ est une somme.
$\quad\bullet\quad 2 + 3\times x$ est une somme.
$\quad\bullet\quad(x+3)(2-x)$ est un produit.
$\quad\bullet\quad (x+3)-(2-x)$ est une somme.
QCM n°1 pour s'évaluer : Accès sans indentifiants $\quad$ Accès avec indentifiants

II
Développer une expression algébrique
A
Produits simples

$3x \times 2x= 3 \times x \times 2 \times x= 3 \times 2 \times x \times x= 6 x^{2}$
$\left(3x\right)^{2}= (3 \times x) \times (3 \times x)= 3 \times 3 \times x \times x= 9 x^{2}$
Attention, on observe bien que le carré ne porte que sur l'expression qui lui succède : $3x^2= 3 \times x \times x $
QCM n°2 pour s'évaluer : Accès sans indentifiants $\quad$ Accès avec indentifiants

B
Distributivité simple
Propriété 1 :
La multiplication est distributive par rapport à l'addition c'est à dire, pour tous nombres réels $a$, $b$, et $k$, on a
$$k(a+b)=ka+kb$$
Exemple 1 :

$\begin{align*}
3(x+1)&=3 \times x + 3 \times 1\\
&=3 x+3\\
\end{align*}$
Exemple 2 :

$\begin{align*}
4(2x-3)&=4 \times 2x +4 \times (-3)\\
& =8x -12\\
\end{align*}$
Exemple 3 :

$\begin{align*}
-2x(1-4x)&=-2x \times 1 -2x \times (-4x)\\
& =-2x +8x^2\\
\end{align*}$
S'entraîner seul :


QCM n°3 pour s'évaluer : Accès sans indentifiants $\quad$ Accès avec indentifiants

C
Le signe - devant une parenthèse

Méthode :
On peut supprimer un signe - devant une parenthèse, et la parenthèse, à condition de changer tous les signes dans la parenthèse.
Exemple 1 :
$\begin{align*}
3-(2x-4)&=3-2x+4\\
&= 7 - 2x\\
\end{align*}$
Méthode :
Autre stratégie : Quand un signe - se trouve devant une parenthèse, on peut rajouter le chiffre 1 et effectuer une distributivité simple.
Exemple 2 :
$\begin{align*}
3-(2x-4)&=3-1(2x-4)\\
&=3-2x +4\\
&= 7 - 2x
\end{align*}$
S'entraîner seul :


QCM n°4 pour s'évaluer : Accès sans indentifiants $\quad$ Accès avec indentifiants

D
Double distributivité

Propriété 1 :
La multiplication est distributive par rapport à l'addition c'est à dire, pour tous nombres réels $a$, $b$, $c$ et $d$, on a: $$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$$
Exemple 1 :
$\begin{align*}
(5x+4)(x+2)&=5x \times x + 5x \times 2 + 4 \times x + 4 \times 2 &\\
&=5 x^2 +10x+4x+8\\
&=5x^2+14x+8 \\
\end{align*}$
Exemple 2 :
$\begin{align*}
(3x-2)(3+7x)&=3x \times 3 + 3x \times 7x -2 \times 3 -2 \times 7x\\
&=9x +21x^2-6-14x\\
&=21x^2-5x-6\\
\end{align*}$
Exemple 3 :
$(2-3x)(4-5x)=8-10x-12x+15x^2$
$\phantom{(2-3x)(4-5x)}=15x^2-22x+8$
S'entraîner seul :


QCM n°5 pour s'évaluer : Accès sans indentifiants $\quad$ Accès avec indentifiants

S'entraîner seul sue des exercices de synthèse :


III
Factoriser une expression algébrique
Définition 1 :
Factoriser, c'est transformer une expression en produit.
Exemple 1 :
$\begin{align*}
3(2 x+1)& = 6 x+3\\
\text{un produit}&\longrightarrow \text{une somme}\\
\end{align*}$
On est passé d'un produit à une somme, on a développé

Exemple 2 :

$6 x+3\quad=3(2 x+1)$
une somme$\longrightarrow $un produit
On est passé d'une somme à un produit, on a factorisé

Méthode :
Pour factoriser, on cherche un facteur commun à chacun des termes de la somme.
Exemple 3 :
Factoriser :
$A=6 x +12=\underline{3} \times 2 \times x + \underline{3} \times 4$
$\phantom{A=6 x +12}=\underline{3} (2 x +4)$
$B=4x^2-3x=2 \times x \times \underline{x} - 3 \times \underline{x}$
$\phantom{B=4x^2-3x}=\underline{x} (4x -3)$
S'entraîner seul :


IV
Bien préparer l'évaluation :
A
Développer une expression :
Exercice 1 :
Développer : $6 x(7 x-5)+7 x$ Correction
Exercice 2 :
$D = (4x + 7) (8 -x) + (5x + 6) (7 - 2x)$ Aide pour démarrer$\quad$ Correction
Exercice 3 : (Exercice difficile)
Développer et réduire :
$E = (x+3) (9x+2) - (3x+5) (1 - 2x)$    Aide pour démarrer$\quad$ Correction
Exercice 4 :(Exercice difficile)
Développer et réduire : $E = (4x-1) (2x+3) - (1-2x) (5x+7)$    Correction