Equations de droites

I
Résolution de systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues
A
Approche géométrique
Exemple 1 :
Déterminer les coordonnées du point d'intersection des droites $(d_1) : 2x+3y-4=0$ et $(d_2) : x-y+2=0$ ;



B
Introduction à la résolution de système linéaire de deux équations à deux inconnues



Qu'est ce qu'un système de deux équations à deux inconnues ?
$\bullet$ L'équation $a+1=3$ est une équation du premier degré (Il n'y a pas de $a^2$, de $a^3$, .... le plus grand exposant de $a$ est 1), à 1 inconnue.
La solution de cette équation est 1.
$\bullet$ L'équation $a+b=3$ est une équation du premier degré (Il n'y a toujours pas de $a^2$, de $b^2$, .... ), à 2 inconnues : $a$ et $b$.
Si $a=2$ alors $b=1$
Si $a=1$ alors $b=2$ etc...
Il n'y a plus UNE solution à cette équation mais une infinité.
Une solution de cette équation est un couple de valeurs pour $a$ et $b$.
On dira par exemple que le couple $(1;2)$ est une solution de l'équation $a+b=3$
En pratique, on est amené à résoudre ce qu'on appelle un système d'équations, c'est à dire une seul problème qui rassemble plusieurs équations.
On aura souvent autant d'équations que d'inconnues.
Par exemple, nous devrons savoir résoudre :
$\left\{\begin{array}{l}a+b=&3 \\a-b=&5\end{array}\right .$
qui est un système de deux équations à deux inconnues.
Solutions d'un système
Si par exemple, $a=1$ et $b=2$ , l'équation $a+b=3$ est vérifiée. Le couple $(1;2)$ est donc solution de la première équation.
Mais $a=1$ et $b=2$ n'est pas solution de $a-b=5$ car $a-b=1-2=-1\neq5$. Le couple $(1;2)$ n'est donc pas solution de la deuxième équation.
Le couple $(1;2)$ n'est donc pas solution du système de deux équations.
Si par exemple, $a=1$ et $b=-4$ , l'équation $a+b=3$ est vérifiée. Le couple $(1;-4)$ est donc solution de la première équation.
Si par exemple, $a=1$ et $b=-4$ , l'équation $a-b=5$ est aussi vérifiée. Le couple $(1;-4)$ est donc solution de la deuxième équation.
Le couple $(1;-4)$ est donc la solution du système de deux équations.
Définition 1 :
On dira qu'un couple est solution d'un système de deux équations à deux inconnues si et seulement si'il vérifie les deux équations du système.
C
Déterminer les coordonnées du point d'intersection des droites à partir de leur équation réduite
Méthode :
Déterminer les coordonnées du point d'intersection des droites $(d_1) : y=3x+2$ et $(d_2) : y=-2x-3$ ;



Correction :
On cherche les couples de nombres $(x;y)$ qui vérifient à la fois $y=3x+2$ et $ y=-2x-3$.
Cela revient à résoudre un système de deux équations à deux inconnues :
$\left\{\begin{array}{l}y&=3x+2 \\y&=-2x-3\end{array}\right .$
qui amène à l'équation $3x+2=-2x-3 \iff 5x=-5 \iff x=-1$
si $x=-1$, alors en remplaçant $x$ par -1 dans l'équation de départ : $y=3x+2$
on obtient : $y=3\times (-1)+2=-1$
On vérifie que le couple $(-1 ;-1)$ vérifie bien les deux équations du système.
On peut alors conclure que le système admet donc le couple $(-1 ;-1)$ comme solution.
Les deux droites sont donc sécantes en un point de coordonnées $(-1 ;-1)$
Méthode :
Déterminer les coordonnées du point d'intersection des droites $(d_1) : 2x+3y-4=0$ et $(d_2) : x-y+2=0$ ;
Il faut trouver le(s) couples $(x;y)$ qui vérifient à la fois $(d_1) : 2x+3y-4=0$ et $(d_2) : x-y+2=0$ ;
Cette question ouvre la question du point suivant sur la résolution de système de deux équations à deux inconnues.
Cette exercice sera résolu en fin de cours.
D
Résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues (par combinaison) niveau 1
Propriété 1 :
Soit $A, B, C, D$ des expressions numériques. On a alors : $A=B$ et $C=D$ $\iff A+C = B+D$
On peut "ajouter membre à membre" les égalités.
Méthode :
L'idée de cette méthode est d'ajouter les équations entre-elles pour supprimer une des inconnues et obtenir une équation à une inconnue.
Exemple 1 :
Résoudre : $\left\{\begin{array}{l}a+b=&3 \\a-b=&5\end{array}\right .$



Correction :
On observe que le coefficient de $b$ est opposé dans les deux équations.
Si on ajoute "membre à membre" les deux équations, les termes en $b$ vont s'annuler.
Calculons donc $(L_1)+(L_2)$ :
$\begin{cases}a+b=3 \\a-b=5\end{cases} \iff \begin{cases}a+b=3 \\2a=3+5\end{cases} \iff \begin{cases}a+b=3 \\a=4\end{cases} \iff \begin{cases}4+b=3 \\a=4\end{cases}\iff \begin{cases}b=-1 \\a=4\end{cases}$
Le couple $(4;-1)$ est la solution du système.
E
Résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues (par combinaison) niveau 2
Propriété 1 :
Soit $A, B$ des expressions numériques et $ k\in \mathbb{R}^{*}$. On a alors : $A=B \iff k \times A = k \times B$
L'égalité est conservée si on multiplie par un réel non nul chacun de ses membres.
Méthode :
Afin de retomber dans la situation précédente, il est souvent utile de multiplier une des deux (voire les deux) équations par un coefficient afin d'égaliser les termes d'une même variable dans chaque équation.
Exemple 1 :
Résoudre : $\left\{\begin{array}{l}2a+5b=&12 \\4a-3b=&-2\end{array}\right .$
Correction :
On ne peut plus se contenter d'ajouter les deux équations membres à membres pour supprimer une inconnue. Les coefficients ne sont pas les mêmes.
Il faut au préalable modifier une des deux inconnues pour ajuster les coefficients :
Par exemple, on peut multiplier par 2 la première équation $(L_1)$

L'idée est de conserver le système de deux équations à deux inconnues à chaque étape, pour conserver les mêmes informations.
$\left\{\begin{array}{l}2a+5b=&12 \\4a-3b=&-2\end{array}\right . \iff \left\{\begin{array}{l}4a+10b=&24 \\4a-3b=&-2\end{array}\right .$
On soustrait alors "membre à membre" les deux équations afin de "supprimer" l'inconnue $a$ :
$\left\{\begin{array}{l}4a+10b&=24 \\4a+10b-(4a-3b)&=24-(-2)\end{array}\right . \iff \left\{\begin{array}{l}4a+10b=&24 \\10b +3b=&26 \end{array}\right . \iff \left\{\begin{array}{l}4a+10b=&24 \\b=&2 \end{array}\right . \iff \left\{\begin{array}{l}4a+10\times 2=&24 \\b=&2 \end{array}\right . \iff \left\{\begin{array}{l}a=&1 \\b=&2 \end{array}\right .$
Le couple $(1;2)$ est la solution du système.
Applications :
Résoudre le système suivant : $\begin{cases} 3a-4b=-3 \\ 7a+2b= 27 \end{cases} $ --- Correction en vidéo
Résoudre le système suivant : $\begin{cases} 2a-5b=-6 \\ 3a+4b= 14 \end{cases} $ --- Correction en vidéo
F
Résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues (par substitution)
Méthode :
L'idée de cette méthode est d'exprimer dans uen équation, une variable en fonction de l'autre, afin de la remplacer dans la deuxième équation.
Exemple 1 :
Résoudre : $\left\{\begin{array}{l}2a+b=&7 \\3a-5b=&-2\end{array}\right .$
$\begin{cases}2a+b=7 \\3a-5b=-2\end{cases} \iff \begin{cases}b=7-2a \\3a-5b=-2\end{cases} \iff \begin{cases}b=7-2a\\3a-5(7-2a)=-2\end{cases} \iff \begin{cases}b=7-2a\\3a-35+10a=-2\end{cases} \iff \begin{cases}b=7-2a\\13a=33\end{cases} \iff \begin{cases} b=7-2a \\ a=\dfrac{33}{13}\end{cases} \iff \begin{cases} b=7-2 \times \dfrac{33}{13} \\ a=\dfrac{33}{13}\end{cases}\iff \begin{cases} b= \dfrac{25}{13} \\ a=\dfrac{33}{13}\end{cases}$
Le couple $\left(\dfrac{33}{13};\dfrac{25}{13}\right)$ est la solution du système.
Méthode :
La méthode par substitution est pratique quand une des variables est affectée d'un coefficient 1 ou -1. Sinon, elle amène à des calculs souvent plus lourds comme dans l'exemple suivant :
Exemple 2 :
Résoudre : $\begin{cases}2a+5b=-5 \\3a-5b=2\end{cases}$
$\begin{cases}2a+5b=-5 \\3a-5b=2\end{cases} \iff \begin{cases}2a=-5-5b \\3a-5b=2\end{cases} \iff \begin{cases}a=\dfrac{-5-5b}{2} \\3a-5b=2\end{cases} $
$ \iff \begin{cases}a=\dfrac{-5-5b}{2} \\3\left(\dfrac{-5-5b}{2} \right)-5b=2\end{cases} \iff\begin{cases}a=\dfrac{-5-5b}{2} \\ \dfrac{-15-15b}{2} -5b=2\end{cases}$
$ \iff \begin{cases}a=\dfrac{-5-5b}{2}\\ \dfrac{-25b}{2} =\dfrac{15}{2}\end{cases}\iff \begin{cases}a=\dfrac{-5-5b}{2}\\ b=-\dfrac{15}{25} \end{cases}$
$ \iff \begin{cases}a=-\dfrac{3}{5}\\b=-\dfrac{19}{25}\end{cases} $
Le couple $\left(-\dfrac{3}{5};-\dfrac{19}{25}\right)$ est la solution du système.