Pour représenter les solutions d'une inéquation, on peut utiliser une droite graduée.
Exemple 1 :
Représenter les solutions de $x>-2$
On a surligné en rouge les solutions.
Exemple 2 :
Représenter les solutions de $x\leq 2$
On a surligné en rouge les solutions.
II
Notations pour les intervalles de $\mathbb{R}$:
Exemple 1 :
Comment représenter les solutions de ce système d'inéquations $\left\{ \begin{array}{r c} x&\geqslant3\\ x&\leqslant 5 \end{array} \right.$ On cherche donc les réels $x$ qui vérifient deux conditions, $\quad\bullet\quad$ être supérieur ou égal à 3 et $\quad\bullet\quad$ inférieur ou égal à 5.
Définition 1 :
Soit $a$ , $b$ et $x$ trois nombres réels tels : $\quad\bullet\quad a\leqslant x \leqslant b$ équivaut à dire que $x \in [a;b]$
Crochets fermés à gauche et à droite.:
$\quad\bullet\quad a\leqslant x < b$ équivaut à dire que $x \in [a;b[$
Crochets fermé à gauche et ouvert à droite.:
$\quad\bullet\quad a< x < b$ équivaut à dire que $x \in ]a;b[$
Crochets ouverts à gauche et à droite.:
$\quad\bullet\quad a< x \leqslant b$ équivaut à dire que $x \in ]a;b]$
Notations : Soit $a \in\mathbb{R}$ $\quad\bullet\quad x\geqslant a$ équivaut à dire $x \in [a; +\infty[$ $\quad\bullet\quad x> a$ équivaut à dire $x \in ]a; +\infty[$ $\quad\bullet\quad x< a$ équivaut à dire $x \in ]-\infty; a[$ $\quad\bullet\quad x\leqslant a$ équivaut à dire $x \in ]-\infty; a]$
Notations : Soit $I$ et $J$ deux intervalles de $\mathbb{R}$ et soit $x \in \mathbb{R}$ $\quad\bullet\quad x \in I \cap J$ équivaut à dire $x \in I$ et $x \in J$ $\quad\bullet\quad x \in I \cup J$ équivaut à dire $x \in I$ ou $x \in G$
Exemple 1 :
$\quad\bullet\quad$ Si $I=[3;5]$ et $J=[4;6]$ alors $I \cap J = [4;5]$ et $I \cup J = [3;6]$ $\quad\bullet\quad$ Si $I=[3;5]$ et $J=[6;+\infty[$ alors $I \cap J = \varnothing$ et $I \cup J = [3;5] \cup [6;+ \infty[$
