On appelle $\mathbb R$, l'ensemble de tous les nombres réels, c'est dire ceux que l'on peut représenter sur une droite graduée.
Illustration :
Notations : On utilise le symbole $\in$ pour dire qu'un élément appartient à un ensemble. $\bullet$ On note $3\in \mathbb{R}$ pour dire que le nombre 3 est un nombre réel. $\bullet$ Si on veut définir l'ensemble de tous les réels sauf le nombre 3, on peut écrire : $\mathbb{R}-\{3\}$ ou $\mathbb{R}\backslash \{3\}$ $\bullet$ On appelle parfois $\mathbb{R}^{*}$ l'ensemble de tous les réels privé du nombre 0. $\bullet$ Pour nommer l'ensemble des nombre réels positifs, on peut écrire : $\mathbb{R}_{+}$. $\bullet$ De même, $\mathbb{R}_{-}$ représente les nombres réels négatifs.
L'ensemble des entiers naturels est noté $\mathbb N=\{0;1;2;3;4;\dots\}$.
Propriété 1 :
C'est l'ensemble des nombres positifs qui permettIlluent de compter une collection d'objets.
L'ensemble des entiers naturels $\mathbb N$ est un sous-ensemble de l'ensemble des réels $\mathbb R$ Illustration :
Notations : $\bullet$ On note $\mathbb N^{*}$ ou $\mathbb N\backslash \{0\}$ l'ensemble des entiers naturels non nuls. $\bullet$ On utilise $\subset$ pour dire qu'un ensemble est inclus dans un autre ensemble. On peut donc écrire que : $\mathbb N \subset \mathbb R$
Exemple 1 :
$245 \in \mathbb N ; \qquad -5 \notin \mathbb N ;\qquad 2^5 \in \mathbb N ;\qquad \dfrac{3}{5} \notin \mathbb N; \qquad 0 \in \mathbb N; \qquad 0 \notin \mathbb N^*$
L'ensemble des nombres entiers relatifs est $\mathbb Z=\{\dots;-2;-1;0;1;2;3;\dots\}$. Il est composé des nombres entiers naturels et de leurs opposés.
L'ensemble des entiers naturels $\mathbb Z$ est un sous-ensemble de l'ensemble des réels $\mathbb R$ Illustration :
Remarque 1 :
L'ensemble $\mathbb N$ est inclus dans $\mathbb Z$, ce que l'on note $\mathbb N\subset \mathbb Z$.
Utilisation des notations $\in$ et $\subset$ Soit $A=\{-3~;~-2~;~-1~;~ 0~;~1~;~2~;~3\} $ On a $-3 \in A$ et $-4 \notin A$ On peut dire que : $A \subset \mathbb Z$ donc $A$ est un sous-ensemble de $\mathbb Z$. Par contre, $A \not\subset \mathbb N$
Les nombres décimaux sont les nombres de la forme $\dfrac{a}{10^n}$, où $a$ est un entier et $n$ un entier naturel. L'ensemble des nombres décimaux est noté $\mathbb D$.
Remarque 1 :
$\bullet$ En pratique, ce sont les nombres dont l'écriture décimale n'a qu'un nombre fini de chiffres après la virgule. $\bullet$ Le nombre $a$ étant un entier, il peut être négatif.
Exemple 1 :
$0,2=\dfrac{2}{10^{1}} \in \mathbb D ; \quad-~0,41 =-~\dfrac{41}{10^{2}}\in \mathbb D ;\quad \dfrac{3}{4} =\dfrac{75}{10^{2}}\in \mathbb D;\quad -13=\dfrac{-13}{10^{0}} \in \mathbb D$ ;
Démonstration Fondamentale :
Le nombre $\dfrac{1}{3}$ appartient-t-il à l'ensemble $\mathbb D$ ? Procédons à un raisonnement par l'absurde Nature de la démonstration : Le raisonnement par l'absurde est une stratégie de démonstration fondamentale en mathématiques. Elle sert uniquement à prouver qu'une affirmation est fausse. Pour cela, on suppose que l'affirmation est vraie et on cherche à obtenir une contradiction. L'incohérence obtenue prouve que la supposition initiale est fausse. Attention, le raisonnement par l'absurde ne permet pas de prouver qu'une affirmation est vraie. Il serait en effet impossible d'obtenir une contradiction. Démonstration : Supposons que $\dfrac{1}{3} \in \mathbb D$ Hypothèse de départ D'après la définition de $\mathbb D$, il existe alors un entier $a$ et un entier naturel $n$ tels que : $\dfrac{1}{3}=\dfrac{a}{10^{n}}$ $\iff a=\dfrac{10^{n}}{3}$ Or $10^{n}$ n'est pas divisible par $3$ (la somme des es chiffres est égale à 1). Donc $a=\dfrac{10^{n}}{3}$ n'est pas un entier. Ce qui est en contradiction avec l'hypothèse émise sur $a$. On a donc prouvé que : $\dfrac{1}{3} \notin \mathbb D$
Remarque 2 :
$\bullet$ $\dfrac{2}{3} \notin \mathbb D \quad \dfrac{3}{3} \in \mathbb D\quad 0,3333333 \in \mathbb D\quad \pi \notin \mathbb D\quad \sqrt2 \notin \mathbb D$ $\bullet$ On a clairement $\mathbb Z \subset \mathbb D$
L'ensemble des nombres rationnels est $\mathbb{Q}=\left\{\dfrac{a}{b} \text{ où } a\in\mathbb Z,~b\in\mathbb Z^*\right\}$. C'est l'ensemble des nombres qui s'écrivent comme le quotient d'un entier par un entier non nul.
Remarque 1 :
$\bullet$ La fraction $\dfrac{a}{b}$ avec $b \ne 0$ est dite irréductible lorsque le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs communs (autres que $1$ ou $-1$). $\bullet$ La partie décimale d'un nombre rationnel est infinie et périodique à partir d'un certain rang. Exemple : $\dfrac{1}{7}\approx 0,\underline{142857}~\underline{142857}~\underline{142857}\dots$ $\bullet$ La division par 0 est \textbf{interdite} : l'écriture $\dfrac{a}{0}$ n'a aucun sens.
Le nombre $\sqrt 2$ est un irrationnel Procédons à un raisonnement par l'absurde : Supposons qu'il existe deux entiers $m$ et $p$ tels que $\sqrt 2 =\dfrac{m}{p}$ On suppose que $\dfrac{m}{p}$ est une fraction irréductible, donc que $m$ et $p$ sont des nombres premiers entre eux. Conséquence : $m$ et $p$ ne peuvent pas être tous les deux des nombres pairs. $\phantom{\iff}\sqrt 2 =\dfrac{m}{p}$ $\iff 2=\left(\dfrac{m}{p}\right)^{2}$ $\iff 2=\dfrac{m^{2}}{p^{2}}$ $\iff m^{2}=2p^{2}$ On en déduit que $m^{2}$ est pair. Or si $m^{2}$ est pair, alors $m$ est un nombre pair. (Démonstration admise, dont une question proche est traitée en arithmétique) Si $m$ est un nombre pair, alors il existe un entier $k$ tel que $m=2k$ Donc : $m^{2}=\left(2k\right)^{2} \iff m^{2}=4k^{2}$ On a donc d'après (1): $\phantom{\iff} m^{2}=2p^{2}$ $\iff 2p^{2}=4k^{2}$ $\iff p^{2}=2k^{2}$ On en déduit que $p^{2}$ est pair. Or si $p^{2}$ est pair, alors $p$ est un nombre pair. Les deux entiers $m$ et $p$ sont donc tous les deux pairs. Donc la fraction $\dfrac{m}{p}$ ne peut pas être irréductible comme cela a été supposé. C'est une contradiction. Il est impossible d'écrire $\sqrt 2 =\dfrac{m}{p}$ sous la forme d' une fraction irréductible. L'hypothèse de départ est fausse. $\sqrt 2$ n'est pas un nombre rationnel. C'est donc un irrationnel. Illustration :
VI
Synthèse :
L'ensemble $\mathbb{R}$ comprend donc les nombre entiers, les décimaux, les fractions et les autres nombres (les irrationnels). En résumé, c'est l'ensemble de tous les nombres connus au collège. On peut aussi définir $\mathbb R$ comme l'ensemble de tous les nombres $x$ tels que $x^{2}\geqslant0$
