Les bases du calcul algébrique

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I
Nature d'une expression algébrique :



Rappels:
$\quad \bullet \quad 3 \times x$ est un produit
$\quad \bullet\quad 3 + x$ est une somme
$\quad \bullet\quad 2 + 3\times x$ est une somme
$\quad \bullet\quad (x+3)(2-x)$ est un produit
$\quad \bullet\quad (x+3)-(2-x)$ est une somme
QCM pour s'évaluer 1: Accès sans indentifiants $\quad$ Accès avec indentifiants

II
Développer une expression algébrique



A
Distributivité simple :
Propriété 1 :
La multiplication est distributive par rapport à l'addition c'est à dire, pour tous nombres réels $a$, $b$, et $k$, on a
\begin{align*}
k(a+b)=ka+kb
\end{align*}
Exemple 1 :
$-3(4-x)=-12+3x$
QCM pour s'évaluer 2 : Accès sans indentifiants $\quad$ Accès avec indentifiants
Pour s'entraîner :


QCM pour s'évaluer 3: Accès sans indentifiants $\quad$ Accès avec indentifiants
Pour s'entraîner :


QCM pour s'évaluer 4: Accès sans indentifiants $\quad$ Accès avec indentifiants
B
Distributivité double :
Propriété 1 :
La multiplication est distributive par rapport à l'addition c'est à dire, pour tous nombres réels $a$, $b$, $c$ et $d$, on a
\begin{align*}
(a+b)(c+d)&=ac+ad+bc+bd
\end{align*}
Exemple 1 :
$(3-x)(2x-3)=6x -9-2x^2+3x$
$\phantom{(3-x)(2x-3)}=-2x^2+9x-9$
Pour s'entraîner :


QCM pour s'évaluer 5: Accès sans indentifiants $\quad$ Accès avec indentifiants

C
Développer une identité remarquable :



Propriété 1 :
Pour tous nombres réels $a$ et $b$ on a
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\
(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
Exemple 1 :
$\quad \bullet\quad (3x+4)^2=(3x)^2+2 \times 3x \times 4 + 4^2$
$\phantom{\quad \bullet\quad (3x+4)^2}=9x^2+24x+9$
$\quad \bullet\quad (6x-5)^2=(6x)^2-2 \times 6x \times 5 + 5^2$
$\phantom{\quad \bullet\quad (6x-5)^2}=36x^2-60x+25$
$\quad \bullet\quad (7x-9)(7x+9)=(7x)^2-9^2$
$\phantom{\quad \bullet\quad (7x-9)(7x+9)}=49x^2-81$
QCM pour s'évaluer 6: Accès sans indentifiants $\quad$ Accès avec indentifiants

III
Factoriser une expression :



A
Factoriser avec un facteur commun
Définition 1 :
Factoriser, c'est transformer une expression en produit.
Méthode :
Une stratégie consiste à isoler un facteur commun à chacun des termes.
Exemple 1 :
Factoriser :
$A=14x^3-8x^2+6x$
$\phantom{A}=7 \times \underline{2 \times x} \times x \times x - 4 \times \underline{2 \times x} \times x + 3 \times \underline{ 2 \times x}$
$\phantom{A}=\underline{2x}(7x^2-4x+3)$
Exemple 2 :
Factoriser :$B=(x+3)(4-x)-(x+3)(2x-5)$
$B=\underline{(x+3)}(4-x)-\underline{(x+3)}(2x-5)$
$\phantom{B}=\underline{(x+3)}\big((4-x)-(2x-5)\big)$
$\phantom{B}=\underline{(x+3)}\big(4-x-2x+5\big)$
$\phantom{B}=(x+3)\big(9-3x\big)$
Pour s'entraîner :


QCM pour s'évaluer 7: Accès sans indentifiants $\quad$ Accès avec indentifiants

B
Factoriser une expression algébrique avec les identités remarquables
Propriété 1 :
On peut utiliser les identités remarquables pour factoriser :
$$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\\
a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\\
a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$
Exemple 1 :
Factoriser : $B=25x^2-49$
$B=25x^2-49\\
B=(5x)^2-7^2\\
B=(5x-7)(5x+7)$
Exemple 2 :
Factoriser : $C=1-(2-x)^2$
$C=1-(2-x)^2\\
C=\big(1-(2-x)\big)\big(1+(2-x)\big)\\
C=\big(1-2+x\big)\big(1+2-x\big)\\
C=\big(-1+x\big)\big(3-x\big)$
Pour s'entraîner :


QCM pour s'évaluer 8: Accès sans indentifiants $\quad$ Accès avec indentifiants

IV
Préparer l'évaluation :
A
Développer une expression :
Exercice 1 :
Développer : $6 x(7 x-5)+7 x$ Correction
Exercice 2 :
$D = (4x + 7) (8 -x) + (5x + 6) (7 - 2x)$ Aide pour démarrer$\quad$ Correction
Exercice 3 :
Développer et réduire :
$E = (x+3) (9x+2) - (3x+5) (1 - 2x)$    Aide pour démarrer$\quad$ Correction
Exercice 4 :
Développer et réduire : $E = (4x-1) (2x+3) - (1-2x) (5x+7)$    Correction
Exercice 5 :
Développer et réduire : $A=(7 x-4)^{2}-(5 x-1)(3-2 x)$   Correction
Exercice 6 :
Développer et réduire : $A=(4 x+5)^{2}-(2 x+3)(2 x-3)$   Correction
B
Factoriser une expression :
Exercice 1 :
Factoriser, si possible, : $A=x^{2}+2 x+1 \quad; B=4 x^{2}+12 x+9 \quad; C=9 x^{2}-24 x+16 \quad; D=49 x^{2}-42 x+36$
Correction
Exercice 2 :
Factoriser : $A=x^{2}-4 \quad ; \quad B=25 x^{2}-1$ Correction
Exercice 3 :
Factoriser $B=16-(4-x)^{2}$ Correction
Exercice 4 :
Factoriser $C=(1+2 x)^{2}-(3 x-1)^{2}$ Correction