Variations de fonctions

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I
Introduction

II
Sens de variation d'une fonction :

Définition 1 :
On considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $D$.
o On dit que $f$ est croissante sur $D$, si : Pour tous réels a et $b$ de $D$ vérifiant $a \leq b,$ on a $f(a) \leq f(b)$
o On dit que $f$ est décroissante sur $D$, si : pour tous réels a et $b$ de $D$ vérifiant $a \leq b,$ on a $f(a) \geq f(b)$
Propriété 1 :
Quand une fonction est croissante sur un intervalle, les antécédents et les images sont rangés dans le même ordre.
Propriété 2 :
Quand une fonction est décroissante sur un intervalle, les antécédents et les images sont rangés dans l'ordre inverse.
III
Tableau de variations :

Exemple 1 :


La fonction $f$ est croissante sur $[0;4]$.
On peut résumer ces informations dans un tableau :


Exemple 2 :


La fonction $f$ est décroissante sur $[-2;2]$ et croissante sur $[2;6]$.
On peut résumer ces informations dans un tableau :


IV
Extréma d'une fonction :

Définition 1 :
Le Maximum d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ est, s'il existe, la plus grande valeur des images $f(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à $I$ .

On a $f(\alpha)=\beta$

Définition 2 :
Le minimum d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ est, s'il existe, la plus petite valeur des images $f(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à $I$ .
Synthèse sur la notion :

V
Analyser les variations d'une fonction
A
Comparer les images de deux nombres d’un intervalle, lorsque le sens de variation est donné
Exemple 1 :
La fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty ;-1]$ et sur $[3 ;+\infty[$ et croissante sur $[-1 ; 3]$ .
On sait d'autre part que $f(-4)=f(3)$ et $f(5)=f(-1)$
1. Peut-on comparer
$\quad$ a. $\quad f(4)$ et $f(-4)=f(3)$ ?
$\quad$ b. $f(-3)$ et $f(-1)$ ?
$\quad$ c. $f(4)$ et $f(2)$ ?
$\quad$ d. $f(-4)$ et $f(5)$ ?

2. Pour $x \in[-1 ; 7],$ comparer $f(x)$ et $f(3)$
3. Pour $x \in]-\infty ; 5],$ comparer $f(x)$ et $f(-1)$

B
Interpréter les informations données par un tableau de variations ou une courbe (minimum, maximum, images, …)
Exemple 1 :
Le tableau de variations ci-dessous, donne les variations d'une fonction $f$ sur $[-3;4]$.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie, fausse, ou bien si les renseignements sont insuffisants pour conclure.
1.$\quad$ a. Le point $A(1 ; 2)$ appartient à la courbe représentative de $f$.
$\phantom{1.}\quad$ b. Le point $B(2; 1)$ appartient à la courbe représentative de $f$.
2.$\quad$ a. $f(-2,5)>0$
$\phantom{1.}\quad$ b. $f(3)>0$
3. $f$ est positive ou nulle sur $[-3 ; 1]$.

4. $f$ est strictement croissante sur [0; 2].
5. La courbe de $f$ et l'axe des abscisses ont deux points communs.
6. Si $x \in]-3 ; 1[$, alors $f(x) \in[0 ; 5[.$


QCM pour s'évaluer : Accès sans indentifiants $\quad$ Accès avec indentifiants

VI
Préparer l'évaluation :
Exercice 1 :
$f$ est une fonction définie sur l'intervalle [-7 ; 8], on donne son tableau de variations :

Compléter avec "< "ou ">" en expliquant :
a. $ f(-6) ...... f(-4)$                          Correction   
b. $ f(-2) ...... f(-1)$                           Correction  
c. $ f(4) ...... f(5)$                             Correction    
d. $ f(-4) ...... f(2)$     Aide pour démarrer       Correction        
2. Quel est le maximum de cette fonction sur [-7 ; 8] ?   Correction   
Exercice 2 :
La fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty ;-1]$ et sur $[3 ;+\infty[$ et croissante sur $[-1 ; 3]$ .
On sait d'autre part que $f(-4)=f(3)$ et $f(5)=f(-1)$
1. Peut-on comparer
$\quad$ a. $\quad f(4)$ et $f(-4)=f(3)$ ?
$\quad$ b. $f(-3)$ et $f(-1)$ ?
$\quad$ c. $f(4)$ et $f(2)$ ?
$\quad$ d. $f(-4)$ et $f(5)$ ?
Correction 1.a.b.c.d.   
2. Pour $x \in[-1 ; 7],$ comparer $f(x)$ et $f(3)$
3. Pour $x \in]-\infty ; 5],$ comparer $f(x)$ et $f(-1)$
Correction 2 et 3