On appelle $f$ fonction définie sur $D$, tout procédé de calcul, qui à chaque réel $x$, lui associe un réel unique noté $f(x)$.
B
Ensemble de définition d'une fonction :
Définition 1 :
On appelle ensemble de définition d'une fonction , l'ensemble , noté $D$, des valeurs pour lesquelles la fonction est définie.
Exemple 1 :
La fonction $f$ définie par $f(x)=4x+3$ est-elle une fonction définie sur $\mathbb R$? Pour chaque antécédent $x$, on peut calculer $4\times x +3$. Le domaine de définition est $\mathbb R$.
Exemple 2 :
La fonction $f$ définie par $f(x)=\sqrt x$ est-elle une fonction définie sur $\mathbb R$? On ne peut pas calculer la racine carrée d'un nombre négatif. Le domaine de définition est $\mathbb R^{+}$.
Exemple 3 :
Déterminer le domaine de définition des deux fonctions représentées ci-dessous :
Exercice 1 : Déterminer graphiquement l'ensemble de définition de la fonction $f$ représentée ci-dessous : Correction Exercice 2 : Déterminer graphiquement l'ensemble de définition de la fonction $f$ représentée ci-dessous : Correction
II
Déterminer l'image d'un nombre par tableau ou lecture graphique
A partir d'un tableau de valeurs :
Exemple 1 :
Voici une fonction donnée par un tableau de valeurs : 1. Quelle est l'image de 2 ? 2. Combien vaut $f(-1)$ ?
A partir d'un graphique :
Exemple 2 :
A partir de la représentation graphique ci-dessous, de la fonction , déterminer : 1. Quelle est l'image de 1 ? 2. Combien vaut $f(0)$ ?
Exercice 3 : Lire l'image de $-2$ par la fonction représentée ci-dessous : Correction
III
Déterminer des antécédents d'un nombre par tableau ou lecture graphique
A partir d'un tableau :
Exemple 1 :
Voici une fonction donnée par un tableau de valeurs : 1. Quelle est l'antécédent de 4 ? 2. Quel nombre a pour image 2 ? 3. Le nombre 7 a-t-il des antécédents ?
A partir d'un graphique :
Exemple 2 :
A partir de la représentation graphique ci-dessous, de la fonction : 1. Déterminer une valeur approchée d'un antécédent de 4 2. Est-il possible de trouver un nombre ayant deux antécédents ? 3. Est-il possible de trouver un nombre ayant trois antécédents ?
IV
Déterminer l'image d'un nombre par une fonction donnée par une formule
Exemple 1 :
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 5 x^2 - 6 x + 3$ • Calculer $f(-3)$ • Calculer l'image de $3\sqrt2$ par la fonction .
V
Rechercher des antécédents d'un nombre par une fonction donnée par une formule
Exemple 1 :
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=2x+1$. Déterminer le ou les antécédents de $0$ par la fonction $f$.
Exemple 2 :
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x) = 4 x^{2} - 5 x + 5$. Déterminer le ou les antécédents de 5 par la fonction $f$
VI
Savoir si un point appartient ou non à une courbe
Propriété 1 :
Pour représenter graphiquement une fonction, on place chaque couple $\left(x;f(x)\right)$ dans un repère. Les antécédents se placent donc toujours sur l'axe des abscisses . Les images se placent donc toujours sur l'axe des ordonnées .
Exemple 1 :
Si $f$ est une fonction telle que $f(2)=3$. Alors le point de coordonnées $(2 ;3)$ appartient à la courbe représentative de la fonction. Si le point de coordonnées $(5;7)$ appartient à la courbe représentative de la fonction, alors on a $f(5)=7$
Définition 1 :
La courbe représentative d'une fonction définie sur un ensemble de définition D, est l'ensemble des points de coordonnées pour tout réel
Conséquence : Peut-on dire si cette courbe est la représentation graphique d'une fonction ? On observe que des antécédents ont plusieurs images, ce n'est donc pas la représentation graphique d'une fonction. Conventions graphiques : On convient que le gros point en abscisse -5 signifie que le point considéré appartient à la courbe. Inversement, la croche au point d'abscisse 4 signifie que 4 n'est pas un antécédent de la fonction.
Exemple 2 :
On considère la fonction $f(x)=\dfrac{2}{x+1}$ 1. Déterminer les coordonnées du point d'abscisse 1 de la courbe représentative de $f$ 2. Le point $A(2 ; 0,6667)$ appartient-t-il à la courbe représentative de $f$ 3. Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de la courbe et de I'axe des ordonnées?
VII
Résoudre graphiquement une équation du type $f(x)=k$
$f$ est une fonction définie sur $D$, et $k$ est un nombre donné. Résoudre l'équation $f(x)=k$, c'est trouver lesnombre $x$ appartenant à $D$ qui ont pour image $k$. Si on traduit cette phrase en langage graphique avec $\mathcal C_f$ la courbe représentative de $f$ : C'est trouver tous les antécédents de $k$ qui appartiennent à $D$ abscisses des points de $\mathcal C_f$ de la courbe qui ont pour ordonnée $k$.
Méthode :
On trace la droite parallèle à l'axe des abscisses, ayant $k$ comme ordonnée à l'origine (On dit que c'est la droite d'équation : $y=k$). Les solutions de l'équations sont les abscisses des points d'intersection de la courbe et de la droite.
Exemple 1 :
A partir de la représentation graphique ci-dessous, résoudre graphiquement : $f(x)=2$ On trace la droite parallèle à l'axe des abscisses, ayant $2$ comme ordonnée à l'origine (On dit que c'est la droite d'équation : $y=2$). Les solutions de l'équations sont les abscisses des points d'intersection de la courbe et de la droite. On lit qu'il y a trois solutions : $x_1\approx-2.5\quad$; $\quad x_1\approx 1.5\quad$;$\quad x_3\approx 3.5$
Exercice 4 : Résoudre graphiquement $f(x)=1$ à partir de la représentation graphique de la fonction $f$ ci-dessous : Correction
VIII
Résoudre graphiquement une inéquation
$f$ est une fonction définie sur $D$, et $k$ un nombre donné. Résoudre I'inéquation $f(x)>k,$ c'est trouver tous les nombres $x$ appartenant à $D$ qui ont une image supérieure à $k$. On ferait de même pour des inéquations du type : $f(x)
Exemple 1 :
Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)>3$ sur l'intervalle $[-5;8]$. Les solutions de l'inéquation sur l'intervalle $[-5;8]$ sont l'ensemble des abscisses des points de la courbe qui appartiennent à l'intervalle $[-5;8]$ et dont les ordonnées sont supérieures à 3. On cherche donc les ordonnées des points de la courbe situés « au dessus» de la droite horizontale d'équation $y=3$. On lit $S=]-3;1[\cup]2;8]$
Exercice 5 : Résoudre graphiquement $f(x)\geq-3$ à partir de la représentation graphique de la fonction $f$ ci-dessous : Correction
IX
Fonctions paire et impaires :
A
Définition :
Définition 1 :
Soit $f$ une fonction définie sur un domaine $\mathcal D$. Si pour tout $x\in \mathcal D$, on a : $f(x)=f(-x)$ on dit que la fonction $f$ est une fonction paire. Si pour tout $x\in \mathcal D$, on a : $f(x)=-f(-x)$ on dit que la fonction $f$ est une fonction impaire.
Exemple 1 :
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=x^{2}$. Soit $x\in \mathbb R$, on a : $f(-x)=(-x)^{2}=x^{2}=f(x)$. La fonction carré est donc une fonction paire.
Exemple 2 :
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $g(x)=x^{3}$. Soit $x\in \mathbb R$, on a : $g(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-g(x)$. La fonction cube est donc une fonction impaire.
Remarque 1 :
On comprend le vocabulaire paire et impaire avec cet exemple. $\bullet\quad$ Les fonctions polynômes avec des puissances paires de $x$ sont des fonctions paires. $\bullet\quad$ Les fonctions polynômes avec des puissances impaires de $x$ sont des fonctions impaires.
B
Propriété graphique :
Propriété 1 :
$\bullet\quad$Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. $\bullet\quad$ Dans un repère quelconque, la courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.
Illustration : On a $f(x)=f(-x)$ pour tout $x$ de $\mathcal{D}$. La représentation graphique de cette fonction paire admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie. On a $f(-x)=-f(x)$ pour tout $x$ de $\mathcal{D}$. La représentation graphique de cette fonction impaire admet l'origine du repère comme centre de symétrie.
Méthode :
Pour déterminer si une fonction donnée est paire ou impaire : $\bullet\quad$ On vérifie que son domaine de définition est centré en $0$. exemple : Une fonction définie sur $\mathcal{D}=[-2;4]$ ne pourra pas être paire ou impaire puisque des valeurs $\mathcal{D}$ n'admettent pas leur opposé dans $\mathcal{D}$. $3\in \mathcal{D}$ mais $-3 \notin \mathcal{D}$ $\bullet\quad$ On calcule $f(-x)$ pour un $x\in \mathcal{D}$. On essaie d'obtenir $f(x)$ ou $-f(-x)$ ce qui permet de conclure. Si on n'obtient ni l'un ni l'autre, la fonction est ni paire, ni impaire.
Méthode :
Pour montrer qu’une fonction $f$ définie sur $\mathcal{D}$ n’est pas paire, il suffit : $\bullet\quad$ Soit de montrer que son ensemble de définition Df n’est pas centré en zéro $\bullet\quad$ Soit de montrer qu’il existe un réel $a \in \mathcal D$ tel que $f(-a)\ne f(a)$
Méthode :
Pour montrer qu’une fonction $f$ définie sur $\mathcal{D}$ n’est pas impaire, il suffit : $\bullet\quad$ Soit de montrer que son ensemble de définition Df n’est pas centré en zéro $\bullet\quad$ Soit de montrer qu’il existe un réel $a \in \mathcal D$ tel que $f(-a)\ne -f(a)$
C
Applications :
Exemple 1 :
La fonction $f(x)=x^{2}-1$ est paire. En effet La fonction est définie sur $\mathbb R$, donc $D_f=\mathbb R$. Donc, pour tout $x\in _fD$, on a $-x\in D_f$. et $: f(-x)=(-x)^{2}-1=x^{2}-1=f(x)$ car un carré est toujours positif.
Exemple 2 :
La fonction $f(x)=\dfrac{2 x^{2}+3}{x}$ est impaire. La fonction est définie sur $\mathbb R^{*}$, donc $D_f=\mathbb R^{*}$. Donc, pour tout $x\in D_f$, on a $-x\in D_f$. Seul $0$ n'a pas d'image, le domaine de définition est donc bien symétrique. $: f(-x)=\dfrac{2(-x)^{2}+3}{-x}=\dfrac{2 x^{2}+3}{-x}=-\dfrac{2 x^{2}+3}{x}=-f(x)$
Exemple 3 :
La fonction $f(x)=x^{2}+2 x-1$ n'est ni paire ni impaire. La fonction est définie sur $\mathbb R$, donc $D_f=\mathbb R$. Donc, pour tout $x\in D_f$, on a $-x\in D_f$. Mais $f(-2)=(-2)^{2}+2(-2)-1=-1$ et $f(2)=2^{2}+2 \times 2-1=7$ $f(2)\neq \pm f(-2)$, $f$ ne peut être ni paire, ni impaire.
Attention : Un contre exemple suffit à prouver que $f$ n'est ni paire ni impaire. Mais un exemple ne prouverait rien : On a ici : $f(-1)=(-1)^{2}+2(-1)-1=-2$ et $f(1)=1^{2}+2 \times 1-1=2$ Donc $f(1)= -f(-1)$. Ce qui ne prouve rien.
