Equations de droites


Plan du cours avec raccourcis pour y accéder directement :

I. Equations réduites et équations cartésiennes
II. Savoir faire et méthodes

I
équations réduites et équations cartésiennes de droites

Plan de la partie avec raccourcis pour y accéder directement :
A. Fonctions affines et équations de droites
B. Tracer une droite d'équation $y=mx+p$ 
C. Tracer une droite d'équation $x=a$
D. Approche graphique du coefficient directeur et de l’ordonnée à l’origine
E. Calcul du coefficient directeur 
F. Vecteur directeur d'une droite
G. Equation cartesienne d'une droite
H. Droites parallèles et droites sécantes

A
Fonctions affines et équations de droites


Propriété 1 :
La représentation graphique d'une fonction affine du type $f(x)=mx+p$ une est une droite non parallèle à l'axe de ordonnées.
Définition 1 :
Cette droite a donc une équation de la forme $y=mx+p$
où $m$ est le coefficient directeur
et $p$ est l'ordonnée à l'origine
$(x;y)$ sont les coordonnées des points appartenant à la droite.
Soit $(d):y=mx+p$ On a l'équivalence : $M(x;y)\in (d) \iff y=mx+p$

Exemple 1 :
Soit $f$ la fonction affine défine par $f(x)=2x-3$.
Sa représentation graphique est la droite $(d)$ d'équation : $(d) : y= 2x-3$
L'intérêt de ce chapître n'est pas d'étudier cette droite comme représentation graphique d'une fonction,
comme cela a été effectué dans le chapitre sur les fonctions affines.
L'idée est d'étudier la droite elle-même, en tant qu'objet du plan, de comprendre ses propriétés.
Mais évidemment, pour les droites "non-parallèles à l'axe des ordonnées", les droites "obliques",
on pourra utiliser les propriétées graphiques des fonctions affines.



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B
Tracer une droite d'équation $y=mx+p$ 



Méthode :
Tracer la droite (d) d'équation $y=2x+3$
On cherche les coordonnées de deux points de la droite :
${\textbf{Première idée :}}$
On peut présenter les résultats dans un tableau :
$\textbf{Deuxième idée :}$
On peut le rédiger de façon plus lycée :
• si $x=0$, alors $y=2\times 0+3=3$, on a donc $A(0;3)\in (d)$
• si $x=2$, alors $y=2\times 2+3=7$, on a donc $B(2;7)\in (d)$




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C
Tracer une droite d'équation $x=a$



Propriété 1 :
Toute droite parallèle à l'axe des ordonnées ne peut être la représentation graphique d'une fonction, puisqu'un antécédent ne peut avoir plusieurs images.
${\textbf{Conséquence}}$  :
Une droite parallèle à l'axe des ordonnées ne peut pas s'écrire sous la forme $y=mx+p$

L'ensemble des points de cette droite ont en commun la même abscisse.
Une équation de cette droite se résume donc en : $x=2$
Propriété 2 :
Toute droite parallèle à l'axe des ordonnées à une équation du type $x=a$
avec $a$ l'abscisse commune à tous les points de la droite.



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D
Approche graphique du coefficient directeur et de l’ordonnée à l’origine



Propriété 1 :
Si $(d)$ est une droite d' équation $y=mx+p$ alors
• $m$ est le $\textbf{coefficient directeur}$. Il mesure la pente de la droite c’est à dire l’inclinaison par rapport à l’horizontal (axe des abscisses)
Graphiquement, cela correspond au quotient : $m=\dfrac{\text{Dénivellé vertical}}{\text{Distance horizontale}}$
• $p$ est appelé l'$\textbf{ordonnée à l'origine}$. Il mesure "l’étage" où la droite coupe l’axe des ordonnées.
Méthode :
${\textbf{Pour lire l'ordonnée à l'origine :}}$ 
On lit l'ordonnée du point de la droite qui est sur l'axe des ordonnées.

On lit pour la droite verte : $p=4$ , pour la bleue : $p=2$ , pour le violete : $p = -1$ et pour la rouge $p=-3$

Méthode :
${\textbf{Pour lire le coefficient directeur :}}$ 
A partir d'un point quelconque de la droite, quand on se déplace d'une unité horizontalement sur la droite,
le coefficient directeur vaut la mesure algébrique de la distance à la droite.
On parle de "mesure algébrique" pour signifier que si on monte la distance sera positive, mais que si on decsnd, la "distance" sera négative.

On lit pour la droite bleue : $m=3$ , pour le violete : $m = -1$ (attention au signe) , pour la rouge $m=-2$
et pour la verte, $m=\dfrac{2}{5}$ on utilise la relation : $m=\dfrac{\text{Dénivellé vertical}}{\text{Distance horizontale}}$
${\textbf{Pour définir l'équation de droite :}}$ 
Verte : $y=\dfrac{2}{5}x+4$ ; bleue : $y=3x+2$ ; violete : $y=-x-1$ ; rouge : $y=-2x-3$

Comprendre :
Représenter, sans justifier dans le repère ci-contre, les droites suivantes :
$(d_1) : y=-2x+1$ $(d_2) : y=3x-1$ $(d_3) : y=\dfrac{1}{3}x+2$
Correction :

Méthode :
Sans justification, donner une équation réduite des 5 droites tracées dans le repère ci-contre :



Corrigés sans explications --- correction vidéo :





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E
Calcul du coefficient directeur :



Propriété 1 :
Soit $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ (avec $x_A\neq x_B$ , i.e. la droite $(AB)$ est non parallèle à l'axe des ordonnées)
La droite $(AB)$ a pour coefficient directeur $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
${\textbf{Remarque}}$  :
C’est la même formule que celle déterminée pour une fonction affine :$m=\dfrac{f(v)-f(u)}{v-u}$ pour $u\neq v$
Méthode :
Déterminer, si possible, le coefficient directeur de la droite $(AB)$ passant par les points $A(2;1)$ et $B(5;2)$
Correction :
On vérifie que $x_A\neq x_B$
Donc la droite $(AB)$ a pour coefficient directeur $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{2-1}{5-2}=\dfrac{1}{3}$
Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est donc $\dfrac{1}{3}$



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F
Vecteur directeur d'une droite
Définition 1 :
Si $(D)$ est une droite du plan, on appelle vecteur directeur de $(D)$, tout vecteur non nul $\vec u$ qui possède la même direction que la droite (D).
Exemple 1 :

Dans cette situation, les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ et $\vec{z}$ ont tous la même direction que la droite $(D)$.
Ils "portent" cette droite, ce sont tous des vecteurs directeurs.

${\textbf{Remarque :}}$ 
Une droite possède une infinité de vecteur directeur.
Propriété 1 :
Soit $A$ et $B$ deux points distincts du plan .
$\vec u$ est un vecteur directeur de la droite $(AB)$ $\iff$ $\overrightarrow{AB}$ et $\vec u$ sont colinéaires
Propriété 2 :
Une droite d'équation $y=mx+p$ possède comme vecteur directeur le vecteur $\vec u\begin{pmatrix}1\\m\end{pmatrix}$
Une droite d'équation $x=a$ possède comme vecteur directeur le vecteur $\vec u \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$
${\textbf{Démonstration :}}$ 
Soit $(D)$ une droite d'équation $y=mx+p$.
En posant $x=0$, puis $x=1$, on obtient $(A(0;p)$ et $B(1;m+p)$ deux points de la droite $(D)$
$\overrightarrow{AB}$ est alors un vecteur directeur de la droite $(D)$
$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix}{x_B-x_A~~}\\{y_B-y_A~~}\end{pmatrix}\iff\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix}1\\m\end{pmatrix}$
On procède de même pour une équation verticale.



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G
Equation cartesienne d'une droite



Définition 1 :
On appelle équation générale ou équation cartésienne d'une droite, une équation de la forme $ax+by+c=0$
où $a$ et $b$ ne pouvant pas être nuls en mêmetemps.
Propriété 1 :
Toute droite du plan admet une équation cartésienne.
${\textbf{Démonstration Fondamentale:}}$ 
Soit $A(x_A;y_A)$ et $\vec u \begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}$ respectivement un point et un vecteur d'un plan muni d'un repère orthonormé.
On a $\alpha$ et $\beta$ qui ne peuvent être tous les deux nuls, pour éviter que $\vec u$ ne soit un vecteur nul.
Soit $M(x;y)$ un point de la droite $(\Delta)$ passant par le point $A$ et ayant $\vec u$ comme vecteur directeur.
Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ porte aussi la droite $(\Delta)$ , il est donc aussi un vecteur directeur de $(\Delta)$.

$\overrightarrow{AB}$ et $\vec u$ sont donc des vecteurs colinéaires, leur déterminant est donc nul.
On a : $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix}{x_B-x_A~}\\{y_B-y_A~}\end{pmatrix} \iff \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix}{x-x_A~}\\{y-y_A~}\end{pmatrix}$
Donc :$M(x;y)\in(\Delta) \iff Det\left(\overrightarrow {AM},\vec u\right)=0$
$\iff \begin {vmatrix} x-x_A~~&\alpha~~~~\\ y-y_A~~&\beta~~\end{vmatrix}=0$
$\iff (x-x_A)\times \beta - \alpha(y-y_A) =0$
$\iff \beta x-\beta x_A - \alpha y +\alpha y_A=0$
$\iff ax+by+c=0~~~~$ avec $a=\beta$ , $b=-\alpha$ , $c=-\beta x_A +\alpha y_A$
On a donc prouvé qu'il existe trois réels $a, b , c$, dont $a$ et $b$ non tous les deux nuls (pour que le vecteur directeur ne soit pas nul),
tels que $M(x;y)\in(\Delta) \iff ax + by + c=0$
On appelle cette équation uen équation cartesienne de $(\Delta)$

H
Droites parallèles et droites sécantes



Propriété 1 :
Dans un repère, la droite $(d)$ a pour équation réduite $y=mx+p$ et la droite $(d')$ a pour équation réduite $y=m'x+p'$
• $(d)\parallel(d') \iff m=m'$
• $(d)$ et $(d')$ sécantes $\iff m\neq m'$
Démonstration : àvenir !!
Propriété 2 :
Autre formulation du théorème :
Deux droites non parallèles à l'axe des ordonnées sont parallèles
si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
Méthode :
On donne dans un repère les droites suivantes :
$(d_1) : y=2x+3$ ; $(d_2) : y=-2x+3$ ; $(d_3) : x=7$ ; $(d_4) : 2y=4x+8$ ; $(d_5) : y+2x=5$
Lesquelles sont parallèles entre-elles ?
Correction :
On transforme les équations pour les replacer dans les schémas du cours :
$(d_1) : y=2x+3$ ; $(d_2) : y=-2x+3$ ; $(d_3) : x=7$ ; $(d_4) : y=2x+4$ ; $(d_5) : y=-2x+5$
on obtient donc :$m_1=m_4=2$ donc $(d_1)\parallel(d_4)$ et $m_2=m_5=-2$ donc $(d_2)\parallel(d_5)$
Propriété 3 :
Soit $(d)$ une droite du plan d'équation : $(d) : ax + b y + c = 0$ avec $(a;b)\neq(0;0)$
Le vecteur $\vec u \begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $(d)$
Exemple 1 :
Soit $(d)$ la droite d'équation $(d) : 2 x + 3 y - 5 = 0$ .
On a donc : $a=2$ et $b=3$ donc $(d)$ admet pour vecteur directeur : $\vec u \begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}$
Propriété 4 :
Dans un repère orthonormé, soit la droite $(d)$ d' équation $ax+by+c=0$ et la droite $(d')$ d' équation $a'x+b'y+c=0$ avec les $(a;b)\neq (0;0)$ et $(a';b')\neq(0;0)$
On a alors : $$(d)\parallel(d') \iff ab'-a'b=0$$
Démonstration :
à venir
Méthode :
Soit $(d_1)$ la droite d'équation : $3x-2y+4=0$ et $(d_2)$ la droite d'équation : $-6x+4y-1=0$.
Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont-elles parallèles ?
Correction :
Première démonstration :
On applique directement la propriété préc"dente :
Dans un repère orthonormé, soit la droite $(d)$ d' équation $ax+by+c=0$ et la droite $(d')$ d' équation $a'x+b'y+c=0$ avec les $(a;b)\neq (0;0)$ et $(a';b')\neq(0;0)$
On a alors : $(d)\parallel(d') \iff ab'-a'b=0$
ici : $a=3$ ; $b=-2$ ; $a'=-6$ et $b'=4$.
On calcule $ab'-a'b=3 \times 4- (-6) \times (-2)=12-12=0$
On a donc bien $(d_1)\parallel(d_2)$
Deuxième démonstration :
Il s'agit de refaire la démonstration, qui n'est pas longue, pour s'épargner d'apprendre la propriété précédente par coeur.
L'idée étant de comprendre plutôt que d'apprendre !!
On cherche $\vec{u_1}$ un vecteur directeur de $(d_1)$ et $\vec{u_2}$ un vecteur directeur de $(d_2)$
On sait d'après le cours que si $(d)$ une droite du plan d'équation : $(d) : ax + b y + c = 0$ avec $(a;b)\neq(0;0)$ alors le vecteur $\vec u \begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $(d)$
$\bullet$ Pour $(d_1)$ : $a=3$ et $b=-2$ donc $\vec u_1 \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$
$\bullet$ Pour $(d_2)$ : $a=-6$ et $b=2$ donc $\vec u_2 \begin{pmatrix}-2\\-6\end{pmatrix}$
On vérifie si ces deux vecteur sont colinéaires en calculant leur déterminant :
$Det\left(\vec u_1,\vec u_2\right)=\begin {vmatrix}3&-6\\-2&2\end{vmatrix}=12-12=0$
$(d_1)$ et $(d_2)$ ont donc des vecteurs directeurs colinéaires, elles ont donc la même direction.
On a donc bien $(d_1)\parallel(d_2)$



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II
Savoir-faire et méthodes

Plan de la partie avec raccourcis pour y accéder directement :
A. Tracer une droite dans un repère
B. Déterminer une équation de droite à partir d'un point et d'un vecteur directeur
C. Déterminer une équation réduite de droite à partir de deux points
D. Déterminer une équation cartésienne de droite à partir de deux points
E. Établir que trois points sont alignés, non alignés

A
Tracer une droite dans un repère :
Méthode :
Représenter la droite $(d)$ d'équation $3x-2y+5=0$ dans un repère orthonormé.



Première démonstration :
On transforme l'équation cartésienne en équation réduite :
$3x-2y+5=0 \iff 2y = 3x+5 \iff y = \dfrac{3}{2}x + \dfrac{5}{2}$
On procède alors comme dans
le cours
Deuxième démonstration :
On cherche deux points, en posant deux valeurs quelconques pour $x$ :
$\bullet$ $x=0 \Rightarrow 3 \times 0 -2y+5=0$ d'où $y=\dfrac{5}{2}$ et $A(0;\dfrac{5}{2}) \in (d)$
$\bullet$ $x=-1 \Rightarrow 3\times (-1)-2y+5=0$ d'où $y=1$ et $B(-1;1) \in (d)$
Troisième démonstration :
On cherche un point et un vecteur directeur de $(d)$ :
$\bullet$ $x=0 \Rightarrow 3 \times 0 -2y+5=0$ d'où $y=\dfrac{5}{2}$ et $A(0;\dfrac{5}{2}) \in (d)$
$\bullet$ $3x-2y+5=0$ donc $a=3$ , $b=-2$ et $c=5$.
On sait qu'un vecteur directeur de $(d)$ est : $\vec u \begin{pmatrix}{-b}\\{a}\end{pmatrix}$ donc $\vec u \begin{pmatrix}{2}\\{3}\end{pmatrix}$


B
Déterminer une équation réduite de droite à partir de deux points
Méthode :
Déterminer l'équation réduite de la droite passant par les points $A(2;-6)$ et $B(-4;6)$
Correction :



Comme $x_A\neq x_B$, on cherche $m$ :
La droite (AB) admet donc une équation du type $y=mx+p$
Son coefficient directeur vaut directeur $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{6-(-6)}{4-2}=-\dfrac{12}{6}=-2$
La droite $(AB)$ admet donc une équation du type $y=-2 x+p$
On cherche $p$ :
On utilise que $A\in(AB)$ : donc si $x=2$ alors $y=-6$ que l'on remplace dans l'équation $y=-2 x+p$,
ce qui donne : $-6=-2 \times 2+p$ d'où $p=-2$
La droite $(AB)$ admet comme équation $y=-2x-2$
Méthode :
Déterminer l'équation de la droite passant par les points $C(3;3)$ et $D(3;7)$
Correction :



On observe que $x_A= x_B=3$. La droite $(CD)$ est donc parallèle à l'axe des ordonnées.
Son équation est donc de la forme : $x=3$

C
Déterminer une équation de droite à partir d'un point et d'un vecteur directeur :
Méthode :
Soit $A(3;-2)$ et $\vec u \begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}$ respectivement un point et un vecteur d'un plan muni d'un repère orthonormé.
Déterminer une équation cartésienne de la droite $(d)$ passant par $A$ et ayant $\vec u$ comme vecteur directeur
Première démonstration :
Soit $M(x;y)$ un point de la droite $(d)$.
Comme $\vec u$ est un vecteur directeur de $(d)$, il est colinéaire au vecteur $\overrightarrow {AM}$.
$\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix}{x_M-x_A~~}\\{y_M-y_A~~}\end{pmatrix} \iff \overrightarrow{AM} \begin{pmatrix}{x-3~~}\\{y-(-2)~~}\end{pmatrix}$
On a donc :
$M(x;y)\in(d) \iff Det\left(\overrightarrow {AM},\vec u\right)=0$
$\iff \begin {vmatrix} x-3~~&-1~~~~\\ y+2~~&3~~\end{vmatrix}=0$
$\iff (x-3)\times 3 - \left(-(y+2)\right) =0$
$\iff 3x - 9 +y + 2=0$
$\iff 3x+y-7=0$
Une équation cartesienne de $(d)$ est donc : $(d) : 3x+7-7=0$
Deuxième démonstration :
On a $\vec u \begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}$
donc d'après la propriété précédente, on a $a=3$ et $-b=-1 \iff b=1$ dans l'équation cartesienne de $(d) : ax + by + c = 0$
D'où : $(d) : 3x + y + c = 0$
Il faut trouver $c$. On utilise $A(3;-2)\in (d)$
ce qui implique que : $3 \times 3 -2 + c = 0$
$\iff 7 + c = 0$
$ \iff c=-7$
Finalement : $(d) : 3x + y -7 = 0$

D
Déterminer une équation cartésienne de droite à partir de deux points
Méthode :
Soit $A(3;2)$ et $B(1;4)$ deux points d'un plan muni d'un repère orthonormé.
Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$
Correction :
$\overrightarrow {AB}$ est un vecteur directeur de la droite $(AB)$.
Calculons ses coordonénes : $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix}{x_B-x_A~~}\\{y_B-y_A~~}\end{pmatrix} \iff \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix}{1-3}\\{4-2}\end{pmatrix}\iff \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix}{-2}\\{2}\end{pmatrix}$
On se ramène alors à la méthode précédente, avec un point et un vecteur directeur :
Première démonstration :
Soit $M(x;y)$ un point de la droite $(AB)$.
$\overrightarrow {AB}$ est colinéaire au vecteur $\overrightarrow {AM}$.
$\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix}{x_M-x_A~~}\\{y_M-y_A~~}\end{pmatrix} \iff \overrightarrow{AM} \begin{pmatrix}{x-3~~}\\{y-2~~}\end{pmatrix}$
On a donc :
$M(x;y)\in(d) \iff Det\left(\overrightarrow {AM},\overrightarrow {AB}\right)=0$
$\iff \begin {vmatrix}x-3&-2\\y-2&2\end{vmatrix}=0$
$\iff (x-3)\times 2 - \left(-2(y-2)\right) =0$
$\iff 2x-6+2y-4=0$
$\iff 2x+2y-10=0$
$\iff x+y-5=0$
Une équation cartesienne de $(d)$ est donc : $(AB) : x+y-5=0$
Deuxième démonstration :
$\overrightarrow {AB}$ est un vecteur directeur de la droite $(AB)$.
Calculons ses coordonénes : $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix}{x_B-x_A~~}\\{y_B-y_A~~}\end{pmatrix} \iff \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix}{1-3}\\{4-2}\end{pmatrix}\iff \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix}{-2}\\{2}\end{pmatrix}$
donc d'après la propriété de cours on a $a=2$ et $-b=-2 \iff b=2$ dans l'équation cartesienne de $(AB) : ax + by + c = 0$
D'où : $(AB) : 2x + 2y + c = 0$
Il faut trouver $c$. On utilise $A(3;2)\in (AB)$
ce qui implique que : $2 \times 3 + 2 \times 2 + c = 0$
$\iff 10 + c = 0$
$ \iff c=-10$
Finalement : $(AB) : 2x + 2y -10 = 0 \iff x+y-5=0$




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E
Établir que trois points sont alignés, non alignés



Propriété 1 :
On dit que 3 points A, B et C sont alignés
si et seulement si les droites (AB) et (AC) ont le même coefficient directeur.
Exemple 1 :
Dans un repère (O,I,J), on donne trois points $M(-1;4) ; N(3 ;-4) et P(2 ;-2)$
Les points M, N et P sont-ils alignés ?
Correction :
On vérifie que $x_M\neq x_N$
Donc la droite (MN) a pour coefficient directeur $m_1=\dfrac{y_M-y_N}{x_M-x_N}=\dfrac{4-(-4)}{-1-3}=-\dfrac{8}{-4}=-2$
de même, on vérifie que $x_M\neq x_N$
Donc la droite (MP) a pour coefficient directeur $m_2=\dfrac{y_M-y_P}{x_M-x_P}=\dfrac{4-(-2)}{-1-2}=-\dfrac{6}{-3}=-2$
On constate que $m_1=m_2$, donc les droites (MN) et (MP) ont donc le même coefficient directeur.
En application de la propriété pédécente, les points M, N et P sont donc alignés.



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