Equations du premier degrés

Version du cours en .pdf
Page du cours sur mathsguyon.fr

I
Résoudre une équation du premier degré



A
Tester une solution
Définition 1 :
On appelle solution d'une équation une valeur qui rend l'équation vraie.
Exemple 1 :
Le nombre $-2$ est-il solution de l'équation $7 x +6 = -8x-10$ ?
On calcule séparément chaque membre en remplaçant $x$ par $-2$:
\begin{align*}
7 x +6 &= 7\times {-2} +6 = -8\\
-8x-10 &= -8 \times{-2} -10 = 6\\
\end{align*}
On observe que pour $x=-2$, on a $7 x +6 \neq -8x-10$
Le nombre $-2$ n'est donc pas solution de cette équation.
B
Résoudre une équation du premier degré :
Méthode :
Pour résoudre une équation du premier degré il faut :
$\quad$ 1.Développer et réduire, si besoin, chaque membre de l'équation
$\quad$ 2. Regrouper les inconnues dans le membre de gauche de l'équation
$\quad$ 3. Isoler les inconnues dans le membre de gauche de l'inconnue
$\quad$ 4. Diviser par le coefficient devant l'inconnue du membre de gauche, s'il est non nul.
$\quad$ 5. Conclure en donnant l'ensemble solution.
Exemple 1 :
Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'équation $5-2(2-x)= -3(3x-1)$
$\begin{align*}
5-2(2-x)&= -3(3x-1) \\
5-4+2x&= -9x+3 \quad\quad\quad \text{étape 1 : on développe chaque membre}\\
1+2 x+ 9x&=3 \quad\quad\quad\quad\quad \text{étape 2 : on regroupe les inconnues à gauche}\\
11 x&=2 \quad\quad\quad\quad\quad \text{étape 3 : on isole les inconnues à gauche}\\
x&=\dfrac{2}{11} \quad\quad\quad\quad\text{étape 4 : on divise par $11$ chaque membre }\\
\quad S&=\left\{ \dfrac{2}{11}\right\}\quad\quad\quad\quad\text{étape 5 : on conclut.}\\
\end{align*}$
Pour s'entraîner niveau 1 :


Pour s'entraîner niveau 2:


Pour s'évaluer :
Accès sans indentifiants
$\quad$ Accès avec indentifiants

II
Résoudre un problème, modéliser une situation



A
Plan général de rédaction :
Méthode :
Pour mettre en équation un problème,il faut :
$\quad$ 1. Définir une variable
$\quad\quad\bullet$ Si l'énoncé donne déjà la variable, on passe à l'étape 2 (souvent le cas dans les problèmes qui s'appuient sur une figure).
$\quad\quad\bullet$ Si l'énonce demande de trouver un ou des nombre(s), il faut bien les définir puisque c'est vous qui les utilisez dans la démonstration.
$\quad$ 2. Mettre en équation le problème
$\quad\quad\bullet$ C'est l'étape la plus difficile souvent. Il suffit de traduire l'énoncé du français en maths une fois qu'on a définit sa (ou ses) variables(s).
$\quad$ 3. Résoudre l'équation
$\quad\quad\bullet$ Résolution classique (voir méthode précédente).
$\quad$ 4. Interpréter et conclure
$\quad\quad\bullet$ Il faut analyser les solutions (sont-elles toutes cohérentes avec l'énoncé) et conclure en revenant au problème avec les données de l'énoncé.
Exemple : Si dans un problème on cherche l'âge de Simone. Si l'équation m'a donné deux solutions -3 et 42, je peux exclure la solution -3 qui ne correspond pas aux données du problème (un âge est positif !). La seule solution du problème serait 42.
On conclut avec une phrase qui répond à la question posée !.
B
Applications
Exemple 1 :
La somme de trois nombres entiers naturels, impairs et consécutifs est égale à $495.$ Quels sont ces trois nombres?
$\quad$ 1. Définir une variable
On appelle $n$ l'entier impair du milieu.
L'entier impair précédent est donc $n-2$, l'entier impair suivant $n+2$
$\quad$ 2. Mettre en équation le problème
On calcule la somme de ces trois nombres : $n-2+n+n+2=495$
$\quad$ 3. Résoudre l'équation
$\begin{align*}
n-2+n+n+2&=495\\
3n&=495\\
n&=\dfrac{495}{3}\\
n&=165\\
S&=\{165\}
\end{align*}$
$\quad$ 4. Interpréter et conclure
Le nombre 165 est bien un entier impair.
Les trois nombres cherchés sont donc 163;165 et 167
Pour s'évaluer :
Accès sans indentifiants
$\quad$ Accès avec indentifiants

III
Equations produit nul



A
Méthode pour résoudre des équations produit nul
Propriété 1 :
Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.
Remarque 1 :
La propriété vue au collège est souvent exprimée ainsi :
"Si un produit est nul alors au moins un de ses facteurs est nul."

La propriété donnée précédemment est plus forte puisqu'elle exprime en même temps la propriété réciproque :
"Si un de ses facteurs est nul alors un produit est nul. "

La formulation si et seulement si permet d'exprimer dans une même phrase, une propriété est sa réciproque.
Elle est très utilisée en mathématiques. On peut la remplacer par équivaut à
Exemple 1 :
Résoudre dans $\mathbb{R}$ :$(3x-2)(2-5x)=0$
Rédaction :
$(3x-2)(2-5x)=0$
Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.
$\begin{array}{lll}
3x-2=0&\text{ou}&2-5x=0\\
x=\dfrac{2}{3}&\text{ou}&x=\dfrac{2}{5}\\
\end{array}$
$S=
\left\{
\begin{array}{c}
\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{5}
\end{array}
\right\}
$
Pour s'entraîner :


Pour s'évaluer :
Accès sans indentifiants
$\quad$ Accès avec indentifiants

B
Se ramener à une équation produit-nul :
Exemple 1 :
Résoudre dans $\mathbb{R}$ :$(4-3x)^2-(4-3x)(6x+7)=0$
Rédaction :
Attention : Cette équation n'est pas sous forme de produit. On ne peut pas appliquer la méthode précédente directement.
Stratégie : Il faut factoriser cette expression pour se ramener à un produit nul.
$\begin{align*}
(4-3x)^2-(4-3x)(6x+7)=0\\
(4-3x)\big((4-3x)-(6x+7)\big)=0\\
(4-3x)\big(4-3x-6x-7)\big)=0\\
(4-3x)\big(-3-9x)\big)=0\\
\end{align*}$
Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.
$\begin{array}{lll}
4-3x=0&\text{ou}&-3-9x=0\\
x=\dfrac{4}{3}&\text{ou}&x=\dfrac{1}{3}\\
\end{array}$
$S=
\left\{
\begin{array}{c}
\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3}
\end{array}
\right\}
$
Pour s'évaluer :
Accès sans indentifiants
$\quad$ Accès avec indentifiants

IV
Préparer l'évaluation
A
Résoudre une équation du premier degré
Exercice 1 :
Résoudre dans $\mathbb R$ : $2 x+4=12$ Correction
Exercice 2 :
Résoudre dans $\mathbb R$ : $-2 x=-11$ Correction
Exercice 3 :
Résoudre dans $\mathbb R$ : $3 x-5=10$ Correction
Exercice 4 :
Résoudre dans $\mathbb R$ : $9(x-1)=11(x+4)$ Correction
Exercice 5 :
Résoudre dans $\mathbb R$ : $4(2-x)+4=-3 x+1$ Correction
Exercice 6 :
Résoudre dans $\mathbb R$ : $\dfrac{-2}{3} x=\dfrac{5}{7}$ Correction
Exercice 7 :
Résoudre dans $\mathbb R$: $3(4+2 x)+7=7 x-5$ Correction
Exercice 8 :
Résoudre dans $\mathbb R$ : $-3 x-9=x-1$ Correction
Exercice 9 :
Résoudre dans $\mathbb R$ : $2 x-\frac{1}{4}=-3 x+\frac{2}{7}$ Correction
B
Résoudre un problème
Exercice 1 :
Un bureau de recherche emploie 23 informaticiens et 8 mathématiciens.
On envisage d'embaucher autant d'informaticiens que de mathématiciens.
Combien faut-il embaucher de spécialistes de chaque sorte, pour que le
nombre de mathématiciens soit égal à la moitié du nombre
d'informaticiens?
Correction
Exercice 2 :
On veut partager une baguette de bois de $3,60 \mathrm{m}$ en trois morceaux.
La longueur du deuxième est le double de celle du premier, la troisième mesure
$60 \mathrm{cm}$ de plus que le deuxième. Quelle est la longueur de chaque morceau?
Correction
C
Résoudre une équation produit nul ou s'y ramenant
Exercice 1 :
Résoudre dans $\mathbb R$ : $(2 x+1)(5 x-8)=0$ Correction
Exercice 2 :
Résoudre dans $\mathbb R$ : $(2 x-3)^{2}-(7-4 x)^{2}=0$ Correction
Exercice 3 :
Résoudre dans $\mathbb R$ :$(x-5)(x+7)-(2 x-8)(x+7)=0$ Correction
Exercice 4 :
Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $x^{2}-16=0$ Correction
Exercice 5 :
Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $27 x^{2}-15 x=0$ Correction
Exercice 6 :
Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $x^{2}+25=0$ Correction
Exercice 7 :
Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $(x-7)^{2}-11=0$ Correction
Exercice 8 :
Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $x^{2}-13=0$ Correction
Exercice 9 :
Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $(2 x+3)(4-x)-(2 x+3)^{2}=0$ Correction