On appelle solution d'une équation une valeur qui rend l'équation vraie.
Exemple 1 :
Le nombre $-2$ est-il solution de l'équation $7 x +6 = -8x-10$ ? On calcule séparément chaque membre en remplaçant $x$ par $-2$: \begin{align*} 7 x +6 &= 7\times {-2} +6 = -8\\ -8x-10 &= -8 \times{-2} -10 = 6\\ \end{align*} On observe que pour $x=-2$, on a $7 x +6 \neq -8x-10$ Le nombre $-2$ n'est donc pas solution de cette équation.
B
Résoudre une équation du premier degré :
Méthode :
Pour résoudre une équation du premier degré il faut : $\quad$ 1.Développer et réduire, si besoin, chaque membre de l'équation $\quad$ 2. Regrouper les inconnues dans le membre de gauche de l'équation $\quad$ 3. Isoler les inconnues dans le membre de gauche de l'inconnue $\quad$ 4. Diviser par le coefficient devant l'inconnue du membre de gauche, s'il est non nul. $\quad$ 5. Conclure en donnant l'ensemble solution.
Exemple 1 :
Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'équation $5-2(2-x)= -3(3x-1)$ $\begin{align*} 5-2(2-x)&= -3(3x-1) \\ 5-4+2x&= -9x+3 \quad\quad\quad \text{étape 1 : on développe chaque membre}\\ 1+2 x+ 9x&=3 \quad\quad\quad\quad\quad \text{étape 2 : on regroupe les inconnues à gauche}\\ 11 x&=2 \quad\quad\quad\quad\quad \text{étape 3 : on isole les inconnues à gauche}\\ x&=\dfrac{2}{11} \quad\quad\quad\quad\text{étape 4 : on divise par $11$ chaque membre }\\ \quad S&=\left\{ \dfrac{2}{11}\right\}\quad\quad\quad\quad\text{étape 5 : on conclut.}\\ \end{align*}$
Pour mettre en équation un problème,il faut : $\quad$ 1. Définir une variable $\quad\quad\bullet$ Si l'énoncé donne déjà la variable, on passe à l'étape 2 (souvent le cas dans les problèmes qui s'appuient sur une figure). $\quad\quad\bullet$ Si l'énonce demande de trouver un ou des nombre(s), il faut bien les définir puisque c'est vous qui les utilisez dans la démonstration. $\quad$ 2. Mettre en équation le problème $\quad\quad\bullet$ C'est l'étape la plus difficile souvent. Il suffit de traduire l'énoncé du français en maths une fois qu'on a définit sa (ou ses) variables(s). $\quad$ 3. Résoudre l'équation $\quad\quad\bullet$ Résolution classique (voir méthode précédente). $\quad$ 4. Interpréter et conclure $\quad\quad\bullet$ Il faut analyser les solutions (sont-elles toutes cohérentes avec l'énoncé) et conclure en revenant au problème avec les données de l'énoncé. Exemple : Si dans un problème on cherche l'âge de Simone. Si l'équation m'a donné deux solutions -3 et 42, je peux exclure la solution -3 qui ne correspond pas aux données du problème (un âge est positif !). La seule solution du problème serait 42. On conclut avec une phrase qui répond à la question posée !.
La somme de trois nombres entiers naturels, impairs et consécutifs est égale à $495.$ Quels sont ces trois nombres? $\quad$ 1. Définir une variable On appelle $n$ l'entier impair du milieu. L'entier impair précédent est donc $n-2$, l'entier impair suivant $n+2$ $\quad$ 2. Mettre en équation le problème On calcule la somme de ces trois nombres : $n-2+n+n+2=495$ $\quad$ 3. Résoudre l'équation $\begin{align*} n-2+n+n+2&=495\\ 3n&=495\\ n&=\dfrac{495}{3}\\ n&=165\\ S&=\{165\} \end{align*}$ $\quad$ 4. Interpréter et conclure Le nombre 165 est bien un entier impair. Les trois nombres cherchés sont donc 163;165 et 167
Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.
Remarque 1 :
La propriété vue au collège est souvent exprimée ainsi :
"Si un produit est nul alors au moins un de ses facteurs est nul."
La propriété donnée précédemment est plus forte puisqu'elle exprime en même temps la propriété réciproque :
"Si un de ses facteurs est nul alors un produit est nul. "
La formulation si et seulement si permet d'exprimer dans une même phrase, une propriété est sa réciproque. Elle est très utilisée en mathématiques. On peut la remplacer par équivaut à
Résoudre dans $\mathbb{R}$ :$(3x-2)(2-5x)=0$ Rédaction : $(3x-2)(2-5x)=0$ Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul. $\begin{array}{lll} 3x-2=0&\text{ou}&2-5x=0\\ x=\dfrac{2}{3}&\text{ou}&x=\dfrac{2}{5}\\ \end{array}$ $S= \left\{ \begin{array}{c} \dfrac{2}{3};\dfrac{2}{5} \end{array} \right\} $
Résoudre dans $\mathbb{R}$ :$(4-3x)^2-(4-3x)(6x+7)=0$ Rédaction : Attention : Cette équation n'est pas sous forme de produit. On ne peut pas appliquer la méthode précédente directement. Stratégie : Il faut factoriser cette expression pour se ramener à un produit nul. $\begin{align*} (4-3x)^2-(4-3x)(6x+7)=0\\ (4-3x)\big((4-3x)-(6x+7)\big)=0\\ (4-3x)\big(4-3x-6x-7)\big)=0\\ (4-3x)\big(-3-9x)\big)=0\\ \end{align*}$ Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul. $\begin{array}{lll} 4-3x=0&\text{ou}&-3-9x=0\\ x=\dfrac{4}{3}&\text{ou}&x=-\dfrac{1}{3}\\ \end{array}$ $S= \left\{ \begin{array}{c} \dfrac{4}{3};-\dfrac{1}{3} \end{array} \right\} $
Exercice 1 : Un bureau de recherche emploie 23 informaticiens et 8 mathématiciens. On envisage d'embaucher autant d'informaticiens que de mathématiciens. Combien faut-il embaucher de spécialistes de chaque sorte, pour que le nombre de mathématiciens soit égal à la moitié du nombre d'informaticiens? Correction Exercice 2 : On veut partager une baguette de bois de $3,60 \mathrm{m}$ en trois morceaux. La longueur du deuxième est le double de celle du premier, la troisième mesure $60 \mathrm{cm}$ de plus que le deuxième. Quelle est la longueur de chaque morceau? Correction
