Une suite arithmétique $(u_n)$ est définie par la donnée • d'un premier terme $u_0$ , • d'une raison $r$ • de la formule de récurrence, valable pour tout $n\in \mathbb N$ : $u_{n+1} =u_n + r$
Exemple 1 :
On définit la suite $(u_n)$ pour tout entier $n\in \mathbb N$ , tel que
$(u_n)$ est alors une suite arithmétique de raison $3$ et de premier terme $u_0=1$
B
Expression de $u_n$ en fonction de $n$
Propriété 1 :
$(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ si et seulement si , pour tout entier $n$ , on a $u_{n} = u_{0} + n r$.
Exemple 1 :
La suite $(u_n)$ précédente est une suite arithmétique de de premier terme $u_0=1$ et de raison $3$. on a donc, en application de la propriété : $u_n =1+n×3=1+3 n$
Démonstration de cette propriété en vidéo :
C
Terme général quand on ne connaît pas $u_0$ :
Propriété 1 :
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ , alors pour tout entier naturel $n$ et $p$ tels que $n>p$, on a $u_n =u_p +(n-p)\times r$
D
Somme de termes consécutifs :
Cas particulier (Démonstration fondamentale) Pour tout entier naturel $n$ on a :\[1+2+\cdots + n = \dfrac{n \left( n +1\right)}{2}\]
Démonstration de cette propriété en vidéo : On peut écrire la somme $S$ des $n$ premiers entiers naturels non nuls de deux manières : $$S=1+2+\cdots+(n-1)+n\\S=n+(n-1)+\cdots+2+1$$ Par addition des deux lignes on obtient :$$2S=(n+1)+(n+1)+\cdots+(n+1)+(n+1)= n(n+1)$$ car il y a $n$ termes. Il vient alors :$$S=\dfrac{n \left( n +1\right)}{2}$$ cas général Soit $\left( u_n \right)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0$, \[ u_0 + u_{1} + \cdots + u_n =\left( n +1\right) \times \dfrac{ u_0 +u_n }{2}\] La somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique est égale à :\[\text{nombre de termes }\:\times \dfrac{\text{premier terme}\:+\:\text{dernier terme}}{2}\] } Démonstration de cette propriété en vidéo :
Soit $\left( u_n \right)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$. \[ \begin{split} S &= u_{0} + u_1 +u_2 +\cdots +u_n\\ &= u_{0} + \left( u_0+r\right)+ \left( u_0+2r\right) +\cdots +\left(u_0+nr\right) \\ &= (n+1) u_0 + \left( 1+ 2 +\cdots +n\right)\times r \\ & =(n+1) u_0 +\frac{n \left( n +1\right)}{2}\times r \\ & =(n+1) \left(\frac{2 u_0+ nr}{2}\right) \\ & =(n+1) \left(\frac{u_0+ u_n}{2}\right) \\ \end{split} \]
E
Sens de variation d'une suite arithmétique
Propriété 1 :
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ . ◦ Si $r >0$ alors la suite $(u_n)$ est strictement croissante. ◦ Si $r <0$ alors la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
F
Evolution
Définition 1 :
Dans le cas d’une suite arithmétique, on parle d’une évolution linéaire.
La représentation graphique d'une suite arithmétique est une droite.
Une suite géométrique $(u_n)$ est définie par la donnée d'un premier terme $u_0$ , d'une raison $q$ et de la formule de récurrence : $u_{n+1} =q×u_n$
Exemple 1 :
On définit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n$ , tel que
$(u_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q=3$ et de premier terme $u_0=1$
B
Terme général d'une suite géométrique :
Propriété 1 :
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ , alors $u_n =u_0 ×q^{n}$
Exemple 1 :
On reprend la suite géométrique précédente, de premier terme $u_0 =1$ et de raison $q=3$ , donc $u_n =u_0 \times q^{n} =1 \times 3 n =3 n$
C
Terme général quand on ne connaît pas $u_0$ :
Propriété 1 :
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q\neq 0$ , alors pour tout entier naturel $n$ et $p$ tels que $n>p$, on a $u_n =u_p \times q^{n-p}$
Exemple 1 :
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q=2$ , tel que $u_7 =4,2$ . Déterminer l’expression de son terme général. Rédaction : On sait que $(u_n)$ une suite géométrique alors pour tout entier naturel $n$, on a $u_n =u_p \times q^{n-p}$ donc en particulier, ici : $u_n =u_7 \times 2^{n-7}$ d'où $u_n =4,2×2^{n-7}$
La suite géométrique de terme général $u_n=q^{n}$ est $\bullet$ Strictement croissante si $q >1$ $\bullet$ Strictement décroissante si $0 < q < 1$
Démonstration : On calcule $u_{n+1} −u_n =q^{n+1} −q^{n} =q^{n} ( q−1 )$ On étudie le signe de $q^{n} ( q−1 )$ $\bullet$ Si $ 0 < q <1$ , $q^{n} > 0$ et $( q−1 )<0$ , donc $q^{n} ( q−1 ) <0$ donc $u_{n+1} −u_n < 0$ et $(u_n)$ est décroissante. $\bullet$Si Si $q >1$ , $q^{n} > 0$ et $( q−1 )>0$ , donc $q^{n} ( q−1 ) >0$ donc $u_{n+1} −u_n > 0$ et $( u n )$ est croissante.
Exemple 1 :
Déterminer les variations de la suite $(u_n)$ de terme général $u_n =0,7^{n}$ Rédaction : On reconnaît la forme d’une suite géométrique, $u_n =u_0 \times q^{n}$ avec $u_0 =1$ et $q=0,7$ D’après le résultat de cours, comme $q=0,7<1$ , la suite $u_n =0,7^{n}$ est strictement décroissante.
Remarque 1 :
Ce résultat est cohérent avec ceux travaillés avec les augmentations/réductions en pourcentage : Multiplier par $0,7$ revient à baisser de $30 \%$. Chaque terme de la suite est donc une réduction du précédent de $30 \%$. Cette suite est naturellement décroissante. Inversement, si $q >1$ , cela revient à augmenter chaque terme d’un certain pourcentage. Si $q=1,1$ , chaque terme de la suite est donc une augmentation du précédent de $10 \%$. Cette suite est naturellement croissante.
E
Sens de variation d'une suite géométrique
Propriété 1 :
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $u_0 >0$ et de raison $q >0$ . $\bullet$ Si $q >1$ alors la suite $(u_n)$ est strictement croissante $\bullet$ Si $0 < q < 1 $ alors la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
Démonstration : Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $u_0 >0$ et de raison $ q >0 $. On a alors $u_n =u_0 \times q^{n}$ et $u_{n+1} −u_{n} =u_n =u_0 \times q^{n+1} −u_0 \times q^{n} =u_n =u_0 \times q^{n}(q-1)$ Comme $u_0 >0$ , le signe de $u_{n+1} −u_{n}$ ne dépend que de $q^{n}(q-1)$ ce qui revient à la démonstration précédente.
Exemple 1 :
Déterminer les variations de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier n par son terme général $u_n =0,4×1,2^{n}$ Rédaction : $u_n =0,4\times1,2 ^{n}$ est l’expression du terme général d’une suite géométrique $u_n =u_0 ×q^{n}$ avec comme premier terme $u_0 =0,4$ et une raison : $q=1,2$ . On a $u_0 >0$ et $q=1,2 > 1$ . Par application du résultat de cours, la suite $( u_n )$ est strictement croissante.
Remarque 1 :
Le cas où $q <0$ n’est pas abordé. Avec une raison négative, les termes d’une suite géométrique sont de signes alternés. La suite n’est pas monotone.
F
Evolution d’une suite géométrique :
Définition 1 :
Dans le cas d’une suite géométrique, on parle d’une croissance (ou décroissance) exponentielle.
Soit $( u_n )$ une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q\in\mathbb R$. Elle est définie pour tout entier $n$ par son terme général : $u_n =u_0 \times q^{n}$. $\bullet$ Si $q >1$ alors la suite $( q^{n} )$ a pour limite $+\infty$ quand $n$ tend vers l’infini. On note : $\lim\limits _{n \rightarrow+\infty}q^{n}=+\infty$ $\bullet$ Si $ 0 < q <1$ alors la suite $( q^{n} )$ a pour limite $0$ quand $n$ tend vers l’infini. On note : $\lim\limits _{n \rightarrow+\infty}q^{n}=+0$
Exemple 1 :
Déterminer la limite de la suite $( u_n )$ définie pour tout entier $n$ par son terme général $u_n =u_0 \times0,4^{n}$. Rédaction : $u_n =u_0 \times0,4^{n}$. est l’expression du terme général d’une suite géométrique $u_n =u_0 \times q^{n}$. avec la raison : $q=0,4$ . On a $q=0,4 <1$ . Par application du résultat de cours, $\lim\limits _{n \rightarrow+\infty}0,4^{n}=+0$ donc $\lim\limits _{n \rightarrow+\infty}u_n=+0$
Propriété 2 :
Cas général : Soit $( u_n )$ une suite géométrique, de premier terme $u_0$ et de raison $q$ :
Exemple 2 :
Déterminer la limite de la suite $( u_n )$ définie pour tout entier $n$ par son terme général $u_n =250 000 \times 0,9^{n}$ Rédaction : $u_n =250 000 \times 0,9^{n}$ est l’expression du terme général d’une suite géométrique de premier terme $u_0 =250 000$ et de raison : $q=0,9$ . On a :$0$ < $ q<1$ et $u_0 >0$ Par application du résultat de cours, $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} 0,9^{n} =0$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} 250 000 \times 0,9^{n} =0$
Principe: L’idée est d’utiliser un algorithme qui permet d’obtenir le seuil à partir duquel le terme général d’une suite géométrique est inférieur ou supérieur à un seuil donné. L’algorithme n’est jamais à rédiger complètement, il est souvent donné, éventuellement à compléter.
Exemple 1 :
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite géométrique de raison $0,96$ et de premier terme $u_{0}=50000$. On se demande, s'il existe un entier $p$ à partir duquel, on aura $u_{n}<30000$ pour tout $n>p$
Rédaction : Le terme général de $( u_n )$ est donc, pour tout entier naturel $n$, de la forme: $u_n=50000\times 0,96^{n}$. Comme $0<0,96<1$ la suite $( u_n )$ est décroissante et converge vers $0$ : $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} 50000 \times 0,96^{n} =0$ Comme $u_0=50000$, il existe bien un seuil à partir duquel on aura $u_n<30000$, c’est à dire , $50000 \times 0,96^{n} <30000$ Il faut donc déterminer le plus petit entier $p$ tel que pour tout entier $n>p$, $u_n<30000$ L’idée est d’utiliser un algorithme:
Pour lire l’algorithme, on peut s’aider d’un tableau :
Initialisation
Tour 1
Tour 2
Tour 3
Tour 4
Tour ...
$U$
50000
48000
46080
44236,8
42467,328
...
$p$
0
1
2
3
4
...
Vous devez savoir programmer votre calculatrice, un tableur ou programmer Sortie de l’algorithme : Le programme affiche 13. Donc pour tout entier $n>13$, on a $50000\times 0,96^{n} < 30000$
Si $q \neq 1$ alors $$1+q+q^{2}+q^{3}+\ldots . .+q^{n}=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$$
Démonstration:
On effectue le produit $:\left[\left(1+q+q^{2}+q^{3}+\ldots . .+q^{n}\right) \times(1-q)\right]:$ $\left(1+q+q^{2}+q^{3}+\ldots \ldots+q^{n}\right) \times(1-q)=1+q+q^{2}+q^{3}+\ldots \ldots+q^{n}-\left(q+q^{2}+q^{3}+\ldots \ldots+q^{n}+q^{n+1}\right)$ $\phantom{\left(1+q+q^{2}+q^{3}+\ldots . .+q^{n}\right) \times(1-q)}=1+q+q^{2}+q^{3}+\ldots \ldots+q^{n}-q-q^{2}-q^{3}+\ldots . .-q^{n}-q^{n+1}$ $\phantom{\left(1+q+q^{2}+q^{3}+\ldots . .+q^{n}\right) \times(1-q)}=1-q^{n+1}$ Comme $q \neq 1$, il vient $1+q+q^{2}+q^{3}+\ldots \ldots+q^{n}=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
Exemple 1 :
Calculer la somme des 7 premières puissances de 2 :
Rédaction: On applique le résultat de cours $1+q+q^{2}+q^{3}+\ldots . .+q^{n}=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ avec $q=2$ et $n=6$ Il vient donc : $1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}+2^{6}=\dfrac{1-2^{7}}{1-2}=\dfrac{-127}{-1}=127$
B
Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique :
Propriété 1 :
Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite géométrique de premier terme $u_{0}$ et de raison $q,$ et $S_{n}$ la somme des $n+1$ premiers termes de la suite :$ S_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\ldots . .+u_{n}$ alors $$S_{n}=u_{0} \times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$$
Remarque 1 :
On a calculé la somme des $n+1$ premiers termes car on commence à compter à $u_0$ jusque $u_n$. Ainsi, $S_2=u_0+u_1+u_2$ est la somme des 3 premiers termes. Attention au décalage !!
Propriété 2 :
On peut retenir cette relation ainsi : $$S_{n}=\text{Premier terme} \times \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$$
Démonstration: $S_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\ldots . .+u_{n}$ Comme $(u_n)$ est une suite géométrique, on sait que pour tout $n\in\mathbb N$, $u_{n}=u_{0} \times q^{n}$ En remplaçant chaque terme de $S_n$ avec cette relation, on obtient : $S_{n}=u_{0}+u_{0} \times q+u_{0} \times q^{2}+\ldots . .+u_{0} \times q^{n}$ $S_{n}=u_{0}+u_{0} \times q+u_{0} \times q^{2}+\ldots . .+u_{0} \times q^{n}=u_{0}\left(1+q+q^{2}+q^{3}+\ldots . .+q^{n}\right)=u_{0} \times\left(\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\right)$
Exemple 1 :
Calculer la somme des 11 premiers termes de la suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ de premier terme $u_{0}=3$ et de raison $q=0,8$.
Rédaction: D'après le cours, pour tout entier $n$, on a : $S_{n}=u_{0} \times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ On a donc ici avec $n=10$ et $q=0.8$ $: S_{10}=3 \times \dfrac{1-0,8^{11}}{1-0,8}=3 \times \dfrac{1-0,8^{11}}{0,2} \approx 13,7$
Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite définie pour tout entier $n$, par la relation
On a : $u_{1}=3 \times 3+2=11; u_{2}=3 \times 11+2=35 ; u_{2}=3 \times 35+2=107$ etc. On vérifie aisément qu'il n'y a pas de raison additive ni multiplicative. Cette suite n'est donc ni arithmétique, ni géométrique. Remarque: $\quad\bullet\quad$ Si $b=0,$ alors la relation de récurrence devient $u_{n+1}=a u_{n}$ et $\left(u_{n}\right)$ est alors une suite géométrique de raison $a$. $\quad\bullet\quad$ Si $a=1,$ alors la relation de récurrence devient $u_{n+1}=u_{n}+b$ et $\left(u_{n}\right)$ est alors une suite arithmétique de raison $b$.
B
Représentation graphique :(pas explicitement au programme)
Méthode à partir d'un exemple: Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite définie pour tout entier $n$, par la relation
On reconnait bien une suite arithmético-géométrique. 1. Recherche de la fonction associée: Soit $f \quad$ la fonction associée à $\left(u_{n}\right)$ telle que $u_{n+1}=f\left(u_{n}\right) \quad$. On a pour tout $x \in \mathbb{R} \quad, \quad f(x)=0,5 x+2$ 2. Représentation graphique des fonctions: Représenter dans le même repère la fonction $f$ associée et de la fonction définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ $g(x)=x$ 3.Algorithme de construction:
- Chercher $u_{1}=f\left(u_{0}\right)=f(10)=7$ - Pour placer $u_{1}$ sur l'axe des abscisses, on cherche l'intersection avec la représentation de $\quad g(x)=x$ - Placer $u_{1}=7$ sur l'axe des abscisses Chercher $u_{2}=f\left(u_{1}\right)=f(7)=5,5$ - Pour placer $u_{2}$ surl'axe des abscisses, on cherche l'intersection avec la représentation de $g(x)=x$ etc... On observe graphiquement que la suite $\left(u_{n}\right)$ semble tendre vers $4$. Attention, ceci n’est pas une démonstration. C’est une illustration.
Extrait sujet Bac : Une revue spécialisée est diffusée uniquement par abonnement. En 2010, il y avait 40 mille abonnés à cette revue. Depuis cette date, on a remarqué que chaque année 85% des abonnés renouvellent leur abonnement et 12 mille nouvelles personnes souscrivent un abonnement. On note $a_{n}$ le nombre d'adhérents pour l'année $2010 + n$ ; on a donc $a_{0} = 40$ et $a_{n+1} = 0,85 a_{n} + 12$ pour tout entier naturel $n$. 1. On considère l'algorithme suivant :
Lorsque l'utilisateur entre la valeur $S=70$, l'affichage en sortie est $n = 9$. Interpréter ce résultat. 2. Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{n} = a_{n} - 80$ pour tout $n \geqslant 0$. a. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n} = 80 - 40 \times 0, 85^n$. c. Selon ce modèle, le directeur de cette revue peut-il envisager de la diffuser à 100 mille exemplaires ? Correction :
1. En supposant que la suite $\left(a_{n}\right)$ est croissante, cet algorithme permet de determiner le rang $n$ à partir duquel les termes de la suite $\left(a_{n}\right)$ sont superieurs a $S$ En $2019,$ le nombre d'abonnes a cette revue dépassera 70 mille. 2.a. Pour tout entier $n$ $u_{n+1} =a_{n+1}-80$ $\phantom{u_{n+1}}=0,85 a_{n}+12-80 $ $\phantom{u_{n+1}}=0,85 a_{n}-68 $ $\phantom{u_{n+1}}=0,85 \times\left(a_{n}-80\right) $ $\phantom{u_{n+1}}=0,85 u_{n}$ Pour tout entier $n, u_{n+1}=0,85 u_{n}$ alors la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géometrique de raison $0,85$. Calculons le premier terme de la suite $\left(u_{n}\right):$ $u_{0}=a_{0}-80 \quad \text { Soit } \quad u_{0}=40-80=-40$ Ainsi, la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite geometrique de raison 0,85 et de premier terme $u_{0}=-40$. 2.b. Pour tout entier $n$, $u_{n}=a_{n}-80,$ d'où pour tout entier $n, a_{n}=u_{n}+80$ Or $\left(u_{n}\right)$ est une sulte geometrique de raison $0,85$ et de premier terme $u_{0}=-40$ donc pour tout entier $n, u_{n}=-40 \times 0,85^{n}$. Par conséquent, pour tout entier $n, a_{n}=80-40 \times 0,85^{n}$ 2.c. 1ère méthode : On cherche les solutions eventuelles de l'equation $a_{n}=100 .$ Soit $80-40 \times 0,85^{n}=100 \Leftrightarrow-40 \times 0,85^{n}=20 \Leftrightarrow 0,85^{n}=-0,5$ Or pour tout entier $n, 0,85^{n}>0,$ donc l'équation $a_{n}=100$ n'a pas de solution. Selon ce modele, il n'est pas possible d'esperer 100 mille abonnés. 2ème méthode : $0<0,85<1$ donc $\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} 0,85^{n}=0$ d'où, $\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} 80-40 \times 0,85^{n}=80 .$ Soit $\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=80 .$ La suite $\left(a_{n}\right)$ converge vers $80 .$ D'autre part, pour tout entier $n$ $a_{n+1}-a_{n} =\left(80-40 \times 0,85^{n+1}\right)-\left(80-40 \times 0,85^{n}\right) $ $\phantom{a_{n+1}-a_{n}}=-40 \times 0,85^{n+1}+40 \times 0,85^{n} $ $\phantom{a_{n+1}-a_{n}}=40 \times 0,85^{n} \times(1-0,85)$ $\phantom{a_{n+1}-a_{n}}=6 \times 0,85^{n}$ Or pour tout entier $n$, $0,85^{n}>0,$ donc pour tout entier $n$, $a_{n+1}-a_{n}>0 .$ La suite $\left(a_{n}\right)$ est strictement croissante. La suite $\left(a_{n}\right)$ est strictement croissante et converge vers 80 donc le nombre maximum d'abonnés que le directeur de cette revue peut espérer est de 80 mille.
