Un tableau est de proportionnalité si : Pour passer de la première ligne à la seconde ligne, on multiplie toujours par le même nombre. Ce nombre est alors appelé coefficient de proportionnalité. On dira que les deux grandeurs, correspondant à chaque ligne, sont proportionnelles.
Exemple 1 :
À une station-essence, le sans-plomb 98 est vendu à 1,34€ le litre. La quantité d’essence et le prix sont donc proportionnels. On a donc un tableau de proportionnalité :
S'entraîner seul :
B
Reconnaître un tableau de proportionnalité :
Méthode :
Pour déterminer si un tableau est ou non de proportionnalité, il suffit de calculer chaque quotient, colonne par colonne, du nombre du bas sur le nombre du haut. $\bullet\quad$ Si les quotients sont égaux, le tableau est de proportionnalité. Le quotient est le coefficient de proportionnalité. $\bullet\quad$ Si les quotients ne sont pas égaux, le tableau n'est pas de proportionnalité.
Exemple 1 :
Dire si le tableau suivant est ou non un tableau de proportionnalité : Pour déterminer si c'est un tableau de proportionnalité, il suffit de comparer les quotients d'un nombre de la deuxième ligne par le nombre correspondant de la première ligne (ou inversement). Soit $\dfrac{13}{8}\neq\dfrac{12}{7}\neq\dfrac{10}{5}$, on constate qu'ils sont différents. Il n'y a donc pas de coefficient de proportionnalité. Ce n'est donc pas un tableau de proportionnalité. On aurait pu aussi calculer les rapports dans l'autre sens : $\dfrac{8}{13}\neq\dfrac{7}{12}\neq\dfrac{5}{10}$, et constater qu'ils sont aussi différents.
Exemple 2 :
Dire si le tableau suivant est ou non un tableau de proportionnalité : Pour déterminer si c'est un tableau de proportionnalité, il suffit de comparer les quotients d'un nombre de la deuxième ligne par le nombre correspondant de la première ligne (ou inversement). Soit $\dfrac{9}{72} = \dfrac{5}{40} = \dfrac{7}{56}=\dfrac{1}{8}=0.125$, on constate qu'ils sont égaux. C'est donc un tableau de proportionnalité. Le coefficient de proportionnalité est donc $\dfrac{1}{8}$ ou $0.125$ On aurait pu aussi calculer les rapports dans l'autre sens : $\dfrac{72}{9} = \dfrac{40}{5} = \dfrac{56}{7}=8. $ Attention, pour déterminer le coefficient d eproportionnalité, il faut diviser la ligne du bas par la ligne du haut.
S'entraîner seul :
II
Caractérisation graphique de la proportionnalité
A
Représenter graphiquement un tableau de valeurs
Méthode :
Pour représenter graphiquement une situation donnée dans un tableau, on place les points dans un repère en respectant toujours : $\bullet\quad$ La première ligne du tableau donne l'abscisse du point. $\bullet\quad$ La deuxième ligne du tableau donne l'ordonnée du point.
Exemple 1 :
Ce tableau : permet de placer le point de coordonnées $A(8;13)$ , le point de coordonnées $B(7;12)$ et le point de coordonnées $C(5;10)$ dans un repère :
B
Représentation grapique et proportionnalité :
Propriété 1 :
Si une situation est une situation de proportionnalité, alors les points de sa représentation graphique sont alignés avec l'origine du repère.
Exemple 1 :
Les points de la représentation ne sont pas alignés. La situation n'est pas une situation de proportionnalité
Les points de la représentation sont bien alignés mais pas alignés avec l'origine du repère. La situation n'est pas une situation de proportionnalité
Les points de la représentation sont alignés avec l'origine du repère. La situation est une situation de proportionnalité.
C
Utiliser une représentation graphique pour résoudre un exercice :
S'entraîner seul :
III
Compléter un tableau de proportionnalité
Voici un tableau de proportionnalité à remplir.
Détaillons 4 méthodes pour le remplir :
A
Avec le coefficient de proportionnalité
Méthode :
On peut trouver le coefficient de proportionnalité, le coefficient multiplicatif qui fait passer d'une ligne à une autre.
Exemple 1 :
En résumé : A partir du tableau : On cherche par quel nombre on multiplie 4 pour obtenir 10. $4\times \ldots=10$ C’est le nombre ${\dfrac{10}{4} = 2,5}$ On a alors : $6\times2,5=15$
S'entraîner seul :
B
En utilisant les propriétés du tableau de proportionnalité
Méthode :
Dans un tableau de proportionnalité, on peut : - multiplier/diviser une colonne par un nombre - ajouter/soustraire des colonnes entre elles.
S'entraîner seul :
C
Par passage à l’unité
Méthode :
Le passage à l'unité consiste à trouver la valeur correspondant à 1 dans une ligne du tableau, pour pouvoir ensuite compléter facilement la ligne considérée.
Exemple 1 :
A partir du tableau plus haut : En 4 heures, nous parcourons 10 km. En 1 heure, nous parcourrons donc 4 fois moins de distance à savoir $10 \div4=2,5$ km En 6 heures, nous parcourrons donc 6 fois plus de temps qu’en 1 heure à savoir $2,5\times 6=15$ km
D
En utilisant l’égalité des produits en croix
Méthode :
Copmme pour des fractions égales, on peut utiliser l'égalite du produit en croix pour déterminer une valeur manquante dans un tableau.
Exemple 1 :
Je nomme $a$ le nombre cherché. Le tableau est de proportionnalité donc les produits en croix sont égaux. $4 \times a=10 \times 6$ $4 \times a=60$ $a= \dfrac{60}{4}$ $a = 15$ On peut écrire directement $a=\dfrac{10 \times 6} {4}= 15$
