Fonctions exponentielles $x \longmapsto q^x$ , avec $q>0$
vidéo 1 :
A
Introduction - Lien avec suite géométrique
On modélise le développement de bactéries dans une souche en laboratoire par une suite géométrique. On estime que le nombre de bactéries double toutes les 10 minutes. $u_0=100$ correspond au nombre de bactéries au début de l'expérience. On a $u_1=200$ au bout de 10 minutes, puis $u_2=400$ au bout de 20 minutes, etc... $u_n=100\times 2^n$ est le nombre de bactéries au bout de $10n$ minutes. La modélisation avec une suite est donc pertinente sauf si on veut affiner le développement des bactéries. Si on veut connaître le nombre de bactéries toutes les 5 minutes, il nous fait modifier le modèle. Et si on veut ensuite toutes les minutes... On a définit les suites numériques comme des fonctions ayant $\mathbb{N}$ comme ensemble de départ. Nous allons procéder de manière inverse, et à partir d'une suite géométrique définie sur $\mathbb{N}$, construire une fonction définie sur $\mathbb{R}$
Définition 1 :
Soit $q$ un réel strictement positif. La suite $\left( u_n \right)$ définie pour tout entier $n$ par $u_n=q^n$ est une suite géométrique de raison $q$. La fonction exponentielle de base $q$ est le prolongement sur $\mathbb{R}$ de cette suite géométrique.
B
Définitions et propriétés calculatoires
vidéo 2 :
Définition 1 :
Soit $q$ un réel strictement positif La fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)= q^x$ s'appelle la fonction exponentielle de base $q$. On admet que cette fonction est dérivable sur $\mathbb{R}$.
Exemple 1 :
La fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)= 0,8^x$ est la fonction exponentielle de base $0,8$. Une valeur approchée de l'image de $-5,3$ est obtenue à la calculatrice en tapant la séquence : 0.8 $\wedge$ ( - 5.3 ).
Propriété 1 :
$\textbf{Relation fonctionnelle :}$ La fonction exponentielle $f$ de base $q>0$ transforme les sommes en produits. Pour tous réels $x$ et $y$ : $f(x+y) = f(x) \times f(y)$ Autrement dit, pour tous réels $x$ et $y$ : $$q^{x+y} = q^x \times q^y$$
Exemple 2 :
$2,3^{3+4} =2,3^3 \times 2,3^4$ Ce qui est découle des propriétés des puissances abordées en collège.
Propriété 2 :
Pour tous réels $x$ et $y$, $~~q^{-x}= \dfrac{1}{q^x}~~~~$ et $~~~~q^{x-y}= \dfrac{q^x}{q^y}$.
Démonstration : $q^{x-x}= q^x \times q^{-x}$ soit $1= q^x \times q^{-x}$ donc comme $q^x \ne 0$ , on a : $q^{-x}=\dfrac{1}{q^x}$. De plus, $q^{x-y}=q^{x+(-y)}=q^x \times q^{-y}= \dfrac{q^x}{q^y}$
Propriété 3 :
Pour tout réel $x$,$ ~~~~q^{x}>0$.
Démonstration : $q^{\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}}= q^{\dfrac{x}{2}} \times q^{\dfrac{x}{2}}$ soit $q^x = \left( q^{\dfrac{x}{2}}\right)^2 $ avec $q^x \ne 0$.
Propriété 4 :
Pour tout réel $x$ et tout entier relatif $m$, $~~~~~~\left({q^x}\right)^m=q^{mx}$
Propriété 5 :
Pour tout entier naturel $n>0$, $~~~~q^{\frac{1}{n}}~~~~~~$ est la racine $n$-ième de $q$
Démonstration : Pour tout entier naturel $n>0$, comme $\dfrac{1}{n} \times n =1$, alors $q^{\frac{1}{n}}$ est le nombre tel que $\left(q^{\frac{1}{n}}\right)^n = q$
Exemple 3 :
Une entreprise s'est fixé comme objectif de réduire de 30 \% ses émissions de gaz à effet de serre d'ici quinze ans. De combien doit-elle réduire en moyenne ses émissions de gaz chaque année pour atteindre son objectif ?
vidéo 3 :
$\textbf{Correction} :$ Soit $t\:\%$ le pourcentage d'évolution annuel moyen des émissions de gaz à effet de serre. On a : $\left( 1 + \dfrac{t}{100}\right)^{15} = 0,7 \iff 1 + \dfrac{t}{100}= 0,7^{\frac{1}{15}} \iff \dfrac{t}{100}= 0,7^{\frac{1}{15}}-1~~~~~~ \text{Soit} \dfrac{t}{100}\approx -0,0235$ Pour atteindre son objectif, cette entreprise doit réduire chaque année, ses émissions de gaz à effet de serre d'environ 2,35 % .
C
Sens de variation :
vidéo 4 :
En continuité avec les suites numériques, on admet que le sens de variation de la fonction exponentielle de base $q$ avec $q>0$ est le même que celui de la suite géométrique associée :
Propriété 1 :
$\bullet$ Si $q\in]0;1[$, la fonction $x\longmapsto q^x$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. $\bullet$ Si $q=1$, la fonction $x\longmapsto q^x$ est constante sur $\mathbb{R}$. $\bullet$ Si $q>1$, la fonction $x\longmapsto q^x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Propriété 2 :
Propriété 3 :
Si $q>0$ et $q \ne 1$, alors pour tous nombres réels $a$ et $b$ : $$q^a =q^b \iff a=b$$
On admet que parmi toutes les fonctions exponentielles de base $q$ il existe une seule fonction dont le nombre dérivé en 0 soit égal à 1. Autrement dit, il existe une seule valeur du réel $q$ telle que la tangente au point $A(0;1)$ de la courbe représentative de la fonction $x \longmapsto q^x$ a pour coefficient directeur 1. Cette valeur particulière du réel $q$ est notée $e$. Le nombre $e$ est un irrationnel une valeur approchée est :$e \approx 2,71828$.
Définition 1 :
La fonction $x \longmapsto e^x$ s'appelle la fonction exponentielle de base $e$ ou plus simplement exponentielle. On la note exp : $\mathrm{exp} \colon x \longmapsto e^x$
Conséquences : $\bullet$ Notation : La fonction exponentielle est définie pour tout réel $x$ par $\mathrm{exp}(x)=e^x$ $\bullet$ Valeurs remarquables : $\mathrm{exp}(0)=e^0 =1,~~ \mathrm{exp}(1)=e^1 = e,~~ \mathrm{exp}(-1)=e^{-1} =\dfrac{1}{e} ~~; \mathrm{exp}(0,5)=e^{0,5} =\sqrt{e}$ $\bullet$ Signe : La fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$ : pour tout nombre réel $x$, $e^x >0$ $\bullet$ Dérivée en zéro :La fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et son nombre dérivé en 0 est 1 : $\mathrm{exp}'(0)=1$ $\bullet$ Propriétés algébriques : Pour tous réels $x$ et $y$, et pour tout entier relatif $m$ : $$e^{x+y} = e^x \times e^y,~~ e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}, ~~e^{x-y}=\dfrac{e^x}{e^y},~~ \left({e^x}\right)^m=e^{mx}$$ Exercice 1 : Calculer : $\mathrm{e}^5 \times \mathrm{e}^{-1}$ et $\dfrac{\mathrm{e}^{-1} \times \mathrm{e}^{4}}{\mathrm{e}^2}$ Correction en vidéo Exercice 2 : Calculer : $(\mathrm{e}^{-x} +1)^2 ~~~et ~~ (\mathrm{e}^{-x} +\mathrm{e}^x)^2$ Correction en vidéo
La dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle. Pour tout nombre réel $x$, $\mathrm{exp}'(x)=\mathrm{e}^x$
Démonstration : Pour tout réel $x$ et pour tout réel $h \ne 0$, $\dfrac{\mathrm{exp}(x+h)-\mathrm{exp}(x)}{h}=\dfrac{\mathrm{e}^{x+h}-\mathrm{e}^x}{h}=\dfrac{\mathrm{e}^x\times \mathrm{e}^h-\mathrm{e}^x}{h}=\mathrm{e}^x\times\dfrac{\mathrm{e}^h-1}{h}$ Or $\mathrm{exp}'(0)=1$ signifie que $\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\mathrm{e}^{0+h}-\mathrm{e}^{0}}{h} = 1$ , soit $\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\mathrm{e}^{h-1}}{h} = 1$. Donc pour tout réel $x$, $\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\mathrm{exp}(x+h)-\mathrm{exp}(x)}{h} = \displaystyle\lim_{h \to 0} \mathrm{e}^x\times\dfrac{\mathrm{e}^{h-1}}{h} = \mathrm{e}^x$
C
Propriétés issues des variations de la fonction exponentielle
vidéo 7 :
Propriété 1 :
La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb R$
Démonstration : La fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb R$ et est égale à sa dérivée. Or pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^x>0$}. On en déduit que la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb R$ Conséquences : $\bullet$ Pour tout réel $x \leqslant 0$, $0 < \mathrm{e}^{x}\leqslant 1$ $\bullet$ Pour tout réel $x \geqslant 0$, $\mathrm{e}^{x}\geqslant 1$ $\bullet$ Pour tous réels $x$ et $y$, $$\mathrm{e}^{x} = \mathrm{e}^{y} \iff x = y ~~\text{et}~~~\mathrm{e}^{x} < \mathrm{e}^{y} \iff x < y$$ Exemples : 1. Résoudre dans $\mathbb R$ l'inéquation $\mathrm{e}^{1-3x} < \mathrm{e}^{2x-3}$ $$\mathrm{e}^{1-3x} < \mathrm{e}^{2x+3}$$ $$\iff1-3x < 2x+3$$ $$ \iff -5x < 2$$ $$ \iff x > -\frac{2}{5}$$
Exercice 3 : Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : $\mathrm{e}^{-4x} - 1 = 0$ Correction en vidéo Exercice 4 : Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : $\mathrm{e}^{2x-1}>1$ Correction en vidéo Exercice 5 : Calculer la dérivée de $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(-\mathrm{e}^{x}+1)(\mathrm{e}^{x}+3)$ Correction en vidéo
D
Exponentielle d'une fonction : $exp(u)$
vidéo 9 :
Définition 1 :
Exponentielle d'une fonction : $\exp (u)$ On considère une fonction $u$ définie sur un intervalle $I$ et la fonction $f$ notée $f=\mathrm{e}^u$.
Exemples : La fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)= \mathrm{e}^{0,5x-3}$ . On a $u(x) =0,5x-3$ avec $f=\mathrm{e}^u$.
Propriété 1 :
Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$. La fonction $\mathrm{e}^ u$ est dérivable sur $I$ et $$\left( \mathrm{e}^u \right) ' =\mathrm{e}^u \times u'$$
Exemples : $\bullet$ Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)= \mathrm{e}^{-x}$. Pour tout réel $x$, on pose $u(x)=-x$. $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $u'(x)=-1$. Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x) =- \mathrm{e}^{-x}$. $\bullet$ Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)= \mathrm{e}^{0,5x^2-2x+1}$. Pour tout réel $x$, posons $u(x)=0,5x^2-2x+1$. $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $u'(x)=x-2$. Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x) =(x-2) \mathrm{e}^{0,5x^2-2x+1}$.
