On considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $D$. o On dit que $f$ est croissante sur $D$, si : Pour tous réels a et $b$ de $D$ vérifiant $a \leq b,$ on a $f(a) \leq f(b)$ o On dit que $f$ est décroissante sur $D$, si : pour tous réels a et $b$ de $D$ vérifiant $a \leq b,$ on a $f(a) \geq f(b)$
Propriété 1 :
Quand une fonction est croissante sur un intervalle, les antécédents et les images sont rangés dans le même ordre.
Propriété 2 :
Quand une fonction est décroissante sur un intervalle, les antécédents et les images sont rangés dans l'ordre inverse.
III
Tableau de variations :
Exemple 1 :
La fonction $f$ est croissante sur $[0;4]$. On peut résumer ces informations dans un tableau :
Exemple 2 :
La fonction $f$ est décroissante sur $[-2;2]$ et croissante sur $[2;6]$. On peut résumer ces informations dans un tableau :
IV
Extréma d'une fonction :
Définition 1 :
Le Maximum d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ est, s'il existe, la plus grande valeur des images $f(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à $I$ . On a $f(\alpha)=\beta$
Définition 2 :
Le minimum d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ est, s'il existe, la plus petite valeur des images $f(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à $I$ .
Synthèse sur la notion :
V
Analyser les variations d'une fonction
A
Comparer les images de deux nombres d’un intervalle, lorsque le sens de variation est donné
Exemple 1 :
La fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty ;-1]$ et sur $[3 ;+\infty[$ et croissante sur $[-1 ; 3]$ . On sait d'autre part que $f(-4)=f(3)$ et $f(5)=f(-1)$ 1. Peut-on comparer $\quad$ a. $\quad f(4)$ et $f(-4)=f(3)$ ? $\quad$ b. $f(-3)$ et $f(-1)$ ? $\quad$ c. $f(4)$ et $f(2)$ ? $\quad$ d. $f(-4)$ et $f(5)$ ?
2. Pour $x \in[-1 ; 7],$ comparer $f(x)$ et $f(3)$ 3. Pour $x \in]-\infty ; 5],$ comparer $f(x)$ et $f(-1)$
B
Interpréter les informations données par un tableau de variations ou une courbe (minimum, maximum, images, …)
Exemple 1 :
Le tableau de variations ci-dessous, donne les variations d'une fonction $f$ sur $[-3;4]$. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie, fausse, ou bien si les renseignements sont insuffisants pour conclure. 1.$\quad$ a. Le point $A(1 ; 2)$ appartient à la courbe représentative de $f$. $\phantom{1.}\quad$ b. Le point $B(2; 1)$ appartient à la courbe représentative de $f$. 2.$\quad$ a. $f(-2,5)>0$ $\phantom{1.}\quad$ b. $f(3)>0$ 3. $f$ est positive ou nulle sur $[-3 ; 1]$.
4. $f$ est strictement croissante sur [0; 2]. 5. La courbe de $f$ et l'axe des abscisses ont deux points communs. 6. Si $x \in]-3 ; 1[$, alors $f(x) \in[0 ; 5[.$
Exercice 1 : $f$ est une fonction définie sur l'intervalle [-7 ; 8], on donne son tableau de variations : Compléter avec "< "ou ">" en expliquant : a. $ f(-6) ...... f(-4)$ Correction b. $ f(-2) ...... f(-1)$ Correction c. $ f(4) ...... f(5)$ Correction d. $ f(-4) ...... f(2)$ Aide pour démarrer Correction 2. Quel est le maximum de cette fonction sur [-7 ; 8] ? Correction Exercice 2 : La fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty ;-1]$ et sur $[3 ;+\infty[$ et croissante sur $[-1 ; 3]$ . On sait d'autre part que $f(-4)=f(3)$ et $f(5)=f(-1)$ 1. Peut-on comparer $\quad$ a. $\quad f(4)$ et $f(-4)=f(3)$ ? $\quad$ b. $f(-3)$ et $f(-1)$ ? $\quad$ c. $f(4)$ et $f(2)$ ? $\quad$ d. $f(-4)$ et $f(5)$ ? Correction 1.a.b.c.d. 2. Pour $x \in[-1 ; 7],$ comparer $f(x)$ et $f(3)$ 3. Pour $x \in]-\infty ; 5],$ comparer $f(x)$ et $f(-1)$ Correction 2 et 3
