Dans le triangle ABC rectangle en B, il y a deux angles aigus : $\widehat{A}$ et $\widehat C$ Rappel : On appelle hypoténuse le côté opposé à l'angle doit Si on s'intéresse à l'angle $\widehat C$ : $\quad\bullet\quad$On dit que est $[BC]$ est le côté adjacent. $\quad\bullet\quad$On dit que est $[AB]$ est le côté opposé. Si on s'intéresse à l'angle $\widehat A$ : $\quad\bullet\quad$On dit que est $[AB]$ est le côté adjacent. $\quad\bullet\quad$On dit que est $[BC]$ est le côté opposé.
Remarque 1 :
Le côté adjacent à l'angle $\widehat A$ est en même temps le côté opposé à l'angle $\widehat C$, et inversement.
Dans des triangles rectangles semblables, l'hypoténuse est proportionnelle au côté adjacent. Le coefficient de proportionnalité qui dépend de l'angle, s'appelle Cosinus
Définition 1 :
Dans le triangle $ABC$ rectangle en B, on appelle cosinus de l'angle $\widehat{C}$, noté $\cos \left(\widehat{C}\right)$, le quotient : $$\cos \left(\widehat{C}\right)=\dfrac{\text{Côté adjacent à l'angle }\widehat {C}}{\text{Hypoténuse}}=\dfrac{BC}{CA}$$
Dans des triangles rectangles semblables,l'hypoténuse est proportionnelle au côté opposé. Le coefficient de proportionnalité qui dépend de l'angle, s'appelle SINUS.
Définition 1 :
Dans le triangle ABC rectangle en B, on appelle sinus de l'angle $\widehat{C}$, noté $\sin \left(\widehat{C}\right)$, le quotient : $$\sin \left(\widehat{C}\right)=\dfrac{\text{Côté opposé à l'angle }\widehat {C}}{\text{Hypoténuse}}=\dfrac{AB}{CA}$$
C
Tangente d'un angle aîgu :
Propriété 1 :
Dans des triangles rectangles semblables,le côté adjacent est proportionnel au côté opposé. Le coefficient de proportionnalité qui dépend de l'angle, s'appelle TANGENTE.
Définition 1 :
Dans le triangle ABC rectangle en B, on appelle tangente de l'angle $\widehat{C}$, noté $\tan\left(\widehat{C}\right)$, le quotient : $$\tan \left(\widehat{C}\right)=\dfrac{\text{Côté opposé à l'angle }\widehat {C}}{\text{Côté adjacent à l'angle} \widehat{C}}=\dfrac{AB}{CA}$$
D
Synthèse :
Méthode :
Moyen mnémotechnique pour apprendre : On lit : « CAH SOH TOA » et on pense à « casse-toi »
Dans le triangle $ABC$ rectangle en A ci contre, calculer $AB$.
Méthode :
Dans le triangle rectangle $ABC$ : On connaît un angle aîgu :$\widehat B$ et $BC$ qui est la mesure de l'hypoténuse du triangle. On cherche $AB$ qui est la mesure du côté adjacent à $\widehat B$. Les deux côtés qui interviennent sont donc : adjacent et hypoténuse $\Rightarrow$ On pense au cosinus. $\cos \left(\widehat{B}\right)=\dfrac{\text{Côté adjacent à l'angle }\widehat {C}}{\text{Hypoténuse}}=\dfrac{AB}{BC}$ On applique : $\cos 40°=\dfrac{AB}{5}$ On applique l'égalité du produit en croix : On applique :$\dfrac{\cos 40°}{1}=\dfrac{AB}{5}$ $AB=5\times \cos 40°$ Valeur exacte $AB\approx 3,8$ Valeur approchée au dixième
Dans cette situation, déterminer une valeur approchée de l'angle $\widehat B$.
Méthode :
Dans le triangle rectangle $ABC$ : On connaît $AB$ qui est adjacent à $\widehat B$, et $AC$ qui lui est opposé. On pense donc à la tangente. $\cos \left(\widehat{B}\right)=\dfrac{\text{Côté adjacent à l'angle }\widehat {C}}{\text{Hypoténuse}}=\dfrac{AB}{BC}$ On applique :$\tan \widehat B =\dfrac{AC}{AB}$ On applique :$\tan \widehat B =\dfrac{7}{5}$ A la calculatrice, en utilisant la fonction Arctan (mais sans l'écrire sur la copie), on obtient :$\widehat B\approx 54°$
Dans le triangle $ABC$ rectangle en B, on appelle cosinus de l'angle $\widehat{C}$, noté $\cos \left(\widehat{C}\right)$, le quotient :
