Addition/soustraction : Pour additionner ou soustraire deux nombres en écriture fractionnaire, il faut : $\quad\bullet$ les réduire au même dénominateur (si ce n’est pas le cas) $\quad\bullet$ ajouter ou soustraire les numérateurs et garder le dénominateur.
Méthode :
Ajouter ou soustraire des fractions de même dénominateur : $\dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{3} = \dfrac{\textbf{2+5}}{3}=\dfrac{7}{3}$ $\quad\rightarrow$ On ajoute les numérateurs, on conserve le dénominateur.
Méthode :
Ajouter ou soustraire des fractions de dénominateurs multiples l'un de l'autre : $ \dfrac{3}{6}+\dfrac{4}{18} = \dfrac{3 \times \textbf{ 3}}{6 \times \textbf{3}}+\dfrac{4}{18} = \dfrac{9}{18} +\dfrac{4}{18}=\dfrac{13}{18}$ $\quad\rightarrow$ On utilise que $18$ est un multiple de $6$ pour placer les deux fractions au même dénominateur.
Méthode :
Ajouter ou soustraire des fractions de dénominateurs non-multiples l'un de l'autre : $ \dfrac{3}{7}-\dfrac{2}{10} = \dfrac{3 \times \textbf{ 10}}{7 \times \textbf{ 10}}– \dfrac{2 \times \textbf{ 7}} {10 \times \textbf{ 7}} = \dfrac{30}{70}-\dfrac{14}{70} = \dfrac{16}{70}$ $\quad\rightarrow$ $10$ n'est pas un multiple de $7$. On cherche donc parmi les multiples de 7, le plus petit multiple de $10$. On trouve $7\times10$. Attention : Il n'est pas toujours utile de multiplier les deux dénominateurs entre eux : Par exemple pour calculer : $ \dfrac{5}{8}+\dfrac{3}{12}$ On cherche ule plus petit multiple commun à $8$ et $12$, on trouve $24$ qui est plus simple que $8\times12=96$. $ \dfrac{5}{8}+\dfrac{3}{12}= \dfrac{5\times 3}{8\times 3}+\dfrac{3\times 2}{12\times 2}= \dfrac{15}{24}+\dfrac{6}{24}=\dfrac{21}{24}$
Multiplication : Pour multiplier deux nombres en écritures fractionnaires, il faut : multiplier les numérateurs entre eux et multiplier les dénominateurs entre eux.
Attention à la règle des signes ! Exemple : Calculer $ \dfrac{-3}{7} \times \dfrac{-5}{-6}$ $\quad\rightarrow$ Avant de calculer le produit, on détermine son signe. Pour cela, con compte le nombre de facteurs négatifs. $\quad\quad\quad\rightarrow$ S'il est pair, le produit est positif, $\quad\quad\quad\rightarrow$ s'il est impair, le produit est négatif. Dans notre exemple, il y a 3 facteurs négatifs, le produit est donc négatif. On peut donc déduire que : $\dfrac{-3}{7} \times \dfrac{-5}{-6} = - \dfrac{3}{7} \times \dfrac{5}{6}\quad$ On détermine d'abord le signe qu'on place devant le calcul. $\phantom{\dfrac{-3}{7} \times \dfrac{-5}{-6} }=-\dfrac{3\times5}{7\times6}\quad$ On applique les règles de calcul di produit. $\phantom{\dfrac{-3}{7} \times \dfrac{-5}{-6} }=-\dfrac{3\times5}{7\times3\times2}\quad$ On essaie de simplifier la fraction. $\phantom{\dfrac{-3}{7} \times \dfrac{-5}{-6} }=-\dfrac{5}{21}\quad$ On peut conclure.
Il faut penser à simplifier avant de multiplier des fractions: Exemple : Calculer $ \dfrac{32}{49} \times \dfrac{35}{36}$ $\quad\rightarrow$ Il serait malvenu de calculer $ \dfrac{32}{49} \times \dfrac{35}{36}=\dfrac{32\times 35}{49\times 36}=\dfrac{1120}{1764} $ !!! Attention : Il faut toujours penser à simplifier avant d'effectuer les produits : $\dfrac{32\times 35}{49\times 36}=\dfrac{8\times \textbf{4}\times \textbf{7}\times 5}{7\times\textbf{7}\times \textbf{4}\times9}=\dfrac{8\times 5}{7\times9}=\dfrac{40}{63}$
Division : Diviser par un nombre en écriture fractionnaire revient à multiplier par son inverse.
Comprendre :
Pour comprendre d'où cela vient. Voici un exemple de calcul : $ \dfrac{7}{3} \div \dfrac{2}{11} = \dfrac{\dfrac{7}{3} } { \dfrac{2}{11}}\quad\quad\quad\quad$On transforme la division en fraction Le dénominateur est $\dfrac{2}{11}$ , son inverse est $ \dfrac{11}{2}$ $\phantom{\dfrac{7}{3} \div \dfrac{2}{11}} =\dfrac{\dfrac{7}{3} \times \dfrac{11}{2}} { \dfrac{2}{11}\times\dfrac{11}{2}}\quad\quad$ On multiplie numérateur et dénominateur par l'inverse du dénominateur $\phantom{\dfrac{7}{3} \div \dfrac{2}{11}}$ $\phantom{\dfrac{7}{3} \div \dfrac{2}{11}}= \dfrac{\dfrac{7\times 11}{3\times 2} } { 1}\quad\quad$ Le dénominateur vaut 1 $\phantom{\dfrac{7}{3} \div \dfrac{2}{11}}$ $\phantom{\dfrac{7}{3} \div \dfrac{2}{11}}=\dfrac{\dfrac{77}{6}}{1}\quad\quad$ On effectue le produit au numérateur. $\phantom{\dfrac{7}{3} \div \dfrac{2}{11}}$ $\phantom{\dfrac{7}{3} \div \dfrac{2}{11}}=\dfrac{77}{6}$ En somme, on a seulement calculé : $ \dfrac{7}{3} \div \dfrac{2}{11} = \dfrac{7}{3} \times\dfrac{11}{2}=\dfrac{77}{6}$. Pour diviser par $ \dfrac{2}{11} $, on a multiplié par $\dfrac{11}{2}$
Méthode :
Pour diviser deux fractions : $\quad\bullet$ On conserve la première fraction $\quad\bullet$ On change le $\div$ en $ {}\times{} $ $\quad\bullet$ On transforme la deuxième fraction en son inverse.
Pour diviser une fraction par un nombre entier : $\quad\bullet$ On conserve la fraction $\quad\bullet$ On change le $\div$ en ${}\times{}$ $\quad\bullet$ On transforme le nombre entier en fraction en lui mettant $1$ au dénominateur. $\quad\bullet$ On transforme la deuxième fraction en son inverse.
Division et règle des signes On compte les nombres de signes négatifs pour déterminer le signe du quotient : $\quad\bullet$ $\dfrac{-2}{-3}=\dfrac{2}{3}$. Deux signes -, le quotient est positif. $\\$ $\quad\bullet$ $\dfrac{-2}{3}=-\dfrac{2}{3}$. Un signe -, le quotient est négatif. $\\$ $\quad\bullet$ $\dfrac{2}{-3}=-\dfrac{2}{3}$. Un signe -, le quotient est négatif. $\\$ $\quad\bullet$ $-\dfrac{-2}{-3}=-\dfrac{2}{3}$. Trois signes -, le quotient est négatif. $\\$ $\quad\bullet$ $-\dfrac{2}{-3}=\dfrac{2}{3}$. Deux signes -, le quotient est positif.
