{"id":9640,"date":"2024-08-15T19:03:56","date_gmt":"2024-08-15T18:03:56","guid":{"rendered":"https:\/\/mathsguyon.fr\/?page_id=9640"},"modified":"2025-10-01T21:02:21","modified_gmt":"2025-10-01T20:02:21","slug":"raisonnement-par-recurrence-et-suites","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/mathsguyon.fr\/?page_id=9640","title":{"rendered":"Suites et r\u00e9currence"},"content":{"rendered":"\n

Le cours<\/a> Le Plan de travail<\/a><\/h1>\n\n\n

Rappels Suites Arithm\u00e9tiques et G\u00e9om\u00e9triques<\/a><\/p>\n

Sujet \u00e9valuation formative<\/a><\/h2>\n

Correction exercices raisonnement par r\u00e9currence<\/strong><\/span><\/h2>\n\n\n

Exercice <\/strong>3 : Correction<\/a><\/p>\n\n\n\n

D\u00e9montrer que, pour tout entier $n \\geqslant 1$ : $\\displaystyle\\sum_{k=1}^{n} \\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\\dfrac{n}{2 n+1}$<\/p>\n\n\n\n

Exercice 4 :<\/strong> Correction<\/a>
$u_0=2$ et $u_{n+1}=\\dfrac{u_n}{1+u_n}$ pour tout entier naturel $n$<\/p>\n\n\n\n

D\u00e9montrer par r\u00e9currence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=\\dfrac{2}{2 n+1}.$<\/p>\n\n\n\n

Exercice 5 :<\/strong> Correction<\/a><\/p>\n\n\n\n

On consid\u00e8re la suite ( $u_n$ ) d\u00e9finie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\\dfrac{1}{4} u_n+3$ pour tout entier $n \\geqslant 0$.
Montrer par r\u00e9currence pour tout entier $n \\geq 1$, $3 \\leq u_n \\leq 4$<\/p>\n\n\n\n

Exercice 6 :<\/strong> Correction<\/a>
On consid\u00e8re la suite ( $S_n$ ) d\u00e9finie pour tout entier $n \\geq 1$ par $S_n=\\displaystyle\\sum_{k=1}^n(2 k-1)$
D\u00e9montrer par r\u00e9currence que, pour tout entier $n \\geq 1$, on a $ S_n=n^2$<\/p>\n\n\n\n

Exercice 7 :<\/strong> Correction<\/a>
Soit $\\left(u_n\\right)$ la suite d\u00e9finie par $u_0=2$ et pour tout $n$ de $\\mathbb{N}$, $u_{n+1}=\\dfrac{1}{3} u_n+2$
D\u00e9montrer par r\u00e9currence que la suite $\\left(u_n\\right)$ est croissante.<\/p>\n\n\n

Correction exercices suites arithm\u00e9tico-g\u00e9om\u00e9triques<\/span>
<\/strong><\/h2>\n\n\n

Exercice 1 : <\/strong> Correction<\/a><\/p>\n\n\n\n

On consid\u00e8re une suite $\\left(u_n\\right)$ d\u00e9finie sur $\\mathbb{N}$ par : <\/p>\n\n\n\n

$u_0=4$ et $u_{n+1}=2u_n-3$.<\/p>\n\n\n\n

Soit la suite $\\left(v_n\\right)$ d\u00e9finie sur N par: $v_n=u_n-3$.
1. Quelle est la nature de la suite $\\left(u_n\\right)$.
2. Montrer que la suite $\\left(v_n\\right)$ est g\u00e9om\u00e9trique.
3. Donner l’expression de $v_n$ en fonction de $n$.
4. En d\u00e9duire l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
5. Calculer la somme des 11 premiers termes de $\\left(u_n\\right)$.<\/p>\n\n\n\n

Exercice 2: Correction<\/a><\/strong><\/p>\n\n\n\n

$\\left(u_n\\right)$ est la suite d\u00e9finie sur $\\mathbb{N}$ par $u_0=5$ et pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1}=\\frac{1}{2} u_n+4$$
1. Calculer $u_1, u_2, u_3$ et $u_4$.
2. On pose, pour tout $n \\in \\mathbb{N}$, $v_n=u_n-8$.
a. Montrer que la suite $\\left(v_n\\right)$ est une suite g\u00e9om\u00e9trique de raison $\\frac{1}{2}$.
b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
3. a. Exprimer $u_n$ en fonction de n.
b. Calculer $u_{10}$
4. D\u00e9terminer les variations de la suite $\\left(u_n\\right)$
<\/p>\n\n\n\n


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